7.8.4. Включення в портфель безризикових цінних паперів

Розв’язання задачі формування оптимального ПЦП набуває нових особливостей, якщо врахувати факт існування на ринку як ризикових, так і безризикових ЦП (або майже безризикових) типу державних зобов’язань з фіксованою нормою прибутку.

А тому постає задача правильного розподілу капіталу між безризиковими та ризиковими вкладеннями.

Нехай х — частка капіталу, що її інвестор розмістив у вигляді портфеля Е(m_E; _E), сформованого на основі ризикових вкладень. Тоді (1 – х) — частка засобів, розміщена під фіксований відсоток R_F у безризикові ЦП. Норма прибутку від такого розміщення капіталу становитеме:

R_П = (1 – x) R_F + xR_E,

а сподівана норма прибутку —

m_П = (1 – x) R_F + xm_E .

Ризик такого розміщення характеризується величиною

Оскільки для безризикових ЦП _F = 0, _EF = 0, то

,

тобто величина частки х задовольняє співвідношення:

х = _П /_Е .

Тоді

.

Рівняння

,

або ж

(7.17)

є рівняннями прямої у двовимірному просторі (m – ). Ця пряма називається лінією ринку капіталів і характеризує ПЦП, що складаються як з безризикових ЦП, так і з ЦП, обтяжених ризиком.

Якщо Е(m_E; _E) є точкою дотику лінії ринку капіталів до множини ефективних портфелів (рис. 7.7), то цю точку називають ринковим (ефективним) портфелем.

На рис. 7.7 пряма R_FN (лінія ринку капіталів) є множиною оптимальних розв’язків, що характеризуються пропорційним (сталим) співвідношенням приросту норми прибутку до зростання ступеня ризику.

Якщо х = 0, то це означає, що весь капітал інвестор вкладає у безризикові ЦП. Якщо ж х = 1, то це означає, що весь капітал вкладається у ринковий портфель Е(m_E; _E).

Рис. 7.7. Урахування в ПЦП безризикових цінних паперів

У випадку, коли 0 < x < 1, то задачу розподілу капіталу між ризиковими та безризиковими ЦП можна розглядати як ситуацію надання кредиту (інвестування) під фіксований відсоток R_F.

Величина х > 1 у випадку, коли інвестор може скористатись позичкою та інвестувати у ринковий портфель Е(m_E; _E) більше, ніж величина його власного початкового капіталу (отримання кредиту).

7.8.4.1. Розрахунок структури ринкового портфеля

Запишемо рівняння (7.17) у вигляді:

.

Оскільки — модифікований коефіцієнт варіації ринкового портфеля Е(m_E; _E), який має негативний інгредієнт (CV_EF = CV^¯_EF), то задача розрахунку його структури зводиться до знаходження такого портфеля з множини допустимих портфелів, який задовольняв би умову:

,

де .



Іншими словами, ринковим є такий ПЦП з множини допустимих портфелів, який забезпечує мінімум відношення між зростаючим ступенем ризику та додатковим прибутком порівняно з ЦП, що мають фіксовану норму прибутку.

Розв’язання поставленої задачі зводиться [2] до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

, (7.18)

де . Враховуючи, що

,

отримуємо:

.



Приклад 7.11. З акцій виду А₁, А₂, А₃, описаних в прикладі 7.8, сформувати ринковий (ефективний) ПЦП, якщо норма прибутку державних облігацій (які є майже безризиковими) становить 10%.

Розв’язання. З урахуванням умови задачі приходимо до системи рівнянь:

.

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо, що y₁ = 0,041; y₂ = 0,082; y₃ = 0,117. Оскільки  = y₁ + y₂ + y₃ = 0,24, то:

x₁ = y₁/ = 0,171; x₂ = y₂/ = 0,342; x₃= y₃/ = 0,487.

Сподівана норма прибутку сформованого ПЦП —

m_Е = x₁m₁ + x₂m₂ + x₃m₃ = 46,83 (%),

його ризик (середньоквадратичне відхилення)

_-

Приклад 7.12. (Надання кредиту). Інвестор сформував ефективний портфель, розрахований у прикладі 7.11. Він прийняв рішення щодо розміщення 75% грошових засобів у ринковий портфель, решту — у цінні папери, що необтяжені ризиком.



Необхідно обчислити сподівану норму прибутку та ризик портфеля інвестора.

Розв’язання. Оскільки m_E = 46,84%, _E = 12,388, R_F = 10%, x = 0,75, то

m_П = (1 – x)R_F + xm_E = 0,2510 + 0,7546,84 = 37,63(%),

_П = х_Е = 0,7512,388 = 9,291(%)._-

Приклад 7.13.(Отримання кредиту). Інвестор посідає ефективний портфель, розрахований у прикладі 7.11. Він прийняв рішення щодо розміщення у ринковий портфель капіталу, що становить 120% по відношенню до власного капіталу.



Необхідно обчислити частку позичкових засобів, сподівану норму прибутку та ризик його портфеля.

Розв’язання. Оскільки m_E = 46,84%, _E = 12,388, R_F = 10%, x = 1, 2, то

m_П = (1 – 1,2)10 + 1,246,84 = 54,208(%),

_П = 1,212,388 = 14,866(%).

Частка позичкових засобів становить 20% (20% = 120% – 100%) обсягу власного капіталу._-

Приклад 7.14. Інвестор посідає ефективний портфель, розрахований у прикладі 7.11. Він прийняв рішення щодо розміщення 120% власного капіталу в ринковий портфель.

Необхідно побудувати лінію ринку капіталів і здійснити відповідний аналіз.

Розв’язання. Оскільки m_E = 46,84%, _E = 12,388%, R_F = 10%, то виходячи із співвідношення

отримуємо відповідне рівняння лінії ринку капіталів:

,

або ж

m_П = 2,974_П + 10.

Отже, для ефективного портфеля збільшення ризику на 1% приводить до збільшення його норми прибутку майже на 3% (на 2,974%).

Якщо ж виходити із співвідношення

то отримуємо таке рівняння:

_П = 0,3363m_П + 3,363.

А тому для ефективного портфеля збільшення норми прибутку на 1% призводить до збільшення його ризику майже на 0,3363%, тобто на величину модифікованого коефіцієнта варіації (CV_EF = 0,3363)._-