Тип: уравнения вида
(7)
В
этом уравнении явно отсутствует
неизвестная функция у.
Для решения уравнения используется
подстановка
,
тогда
.
После подстановки в уравнение получается
ДУ первого порядка относительно
неизвестной функции z(x).
Решая его, находим эту функцию и интегрируя
ее по х,
возвращаемся к старой переменной у.
ПРИМЕР.
Найти общее решение уравнения
.
РЕШЕНИЕ.
Данное уравнение не содержит в явном виде переменной y и относится к типу (7). В таких уравнениях порядок понижается с помощью замены переменной:
.
Тогда для второй производной получим:
.
Подставляем данные соотношения в исходное уравнение:
.
Получаем
уравнение первого порядка на функцию
z,
то есть порядок уравнения понижен на
единицу. Разделив полученное уравнение
на
:
видим, что оно является линейным относительно функции z и ее производной. Следуя общему методу решения линейных уравнений, полагаем:
,
.
откуда
,
или группируя члены, содержащие v
.
Полагая, как обычно, выражение в скобках равным нулю, получаем систему:
.
Разделяя переменные в первом уравнении, находим функцию u:
.
Подставляя u во второе уравнение, найдем v
.
Для функции получаем
.
Возвращаемся
к исходным переменным, то есть полагаем
.
Имеем уравнение первого порядка на искомую функцию . Разделяя переменные и производя интегрирование, найдем общее решение уравнения:
.
Тип: уравнения вида
(8)
Это
уравнение не содержит в явном виде
переменную х.
Оно решается подстановкой
,
тогда, по правилу нахождения производной
сложной функции
.
После подстановки в уравнение получается
ДУ первого порядка относительно
неизвестной функции z(у).
Решая его, находим эту функцию и интегрируя
ее по у,
возвращаемся к старой переменной у.
ПРИИМЕР.
Найти общее решение уравнения
.
РЕШЕНИЕ:
Данное
уравнение не содержит в явном виде
переменной x
и относится к типу
(8). В таких уравнениях порядок понижается
путем замены
.
Дифференцируя z как сложную функцию, получаем
.
В результате исходное уравнение приобретает вид:
.
Отметим,
что под
понимается производная по y,
то есть
.
Разделив
полученное уравнение на
,
получим:
.
Разделяя
переменные и интегрируя, находим функцию
:
.
Возвращаясь к исходным переменным, имеем уравнение на функцию :
,
которое также является уравнением с разделяющимися переменными. Решая его, получим общее решение исходного уравнения:
ПРИМЕР.
Найти общее решение
уравнения
.
РЕШЕНИЕ.
Данное уравнение относится к типу, рассмотренному в предыдущем примере, то есть не содержит в явном виде переменной x.
Для понижения порядка делаем замену
,
.
В результате уравнение принимает вид:
.
Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Представляя производную в виде и разделив обе части уравнения на z , получим:
,
или разделяя переменные
.
Интеграл по z является табличным, а для вычисления интеграла по y воспользуемся уже не раз применяемым нами методом подведения под знак дифференциала:
.
Возвращаемся к исходным переменным
.
Откуда
.