Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное
уравнение вида
называется уравнением второго порядка.
В
этом уравнении х
– независимая переменная,
- неизвестная функция,
- первая и вторая производные неизвестной
функции.
Если из этого уравнения можно выразить старшую производную:
(5)
то ДУ называется уравнением, разрешенным относительно второй производной.
Общим
решением уравнения (5) называется функция
,
удовлетворяющая этому уравнению при
любых значениях постоянных
.
Таким образом, в общее решение ДУ второго порядка входят две произвольные постоянные.
Частным
решением уравнения (5) называется функция
,
полученная из общего решения при
конкретном значении
.
Рассмотрим
дифференциальное уравнение
.
Это уравнение
второго порядка. Его общее решение
получается при двукратном интегрировании:
- общее решение данного ДУ.
Найдем
частное решение этого уравнения при
заданных начальных условиях:
.
Подставляем второе начальное условие
в первую производную:
.
Подставляем первое
условие в общее решение:
.
Тогда
- частное решение
при заданных начальных условиях.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка, т.е. сводящихся к ДУ первого порядка. Можно выделить три типа таких уравнений.
Тип: уравнения вида
(6)
порядок которых понижается последовательным интегрированием.
К
этим уравнениям относятся не только
уравнения второго порядка (n=2),
но и уравнения любых других порядков.
Интегрируя первый раз такое уравнение,
мы получим производную
,
интегрируя второй раз – производную
и так далее. Интегрируя n
–ый раз получим искомую функцию у.
Определить этот тип уравнений несложно: в нем есть только производная искомой функции и функция, зависящая от х.
ПРИМЕР.
Найти частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
РЕШЕНИЕ:
Данное
уравнение является ДУ третьего порядка
и относится к уравнению типа (6). Интегрируя
,
получим уравнение второго порядка:
.
Для первой производной, имеем:
.
Наконец, интегрируя третий раз, получим общее решение:
Поскольку порядок рассматриваемого уравнения равен трем, его общее решение зависит от трех произвольных постоянных. Для нахождения частного решения необходимо использовать данные начальные условия (отметим, что их число должно быть равно порядку уравнения).
Подставляя условие в общее решение, условия и в выражение соответственно для первой производной и второй производной, получим систему уравнений для значений произвольных постоянных:
Откуда
,
,
.
Подставляя данные значения постоянных в общее решение, получим частное решение:
.
ПРИМЕР.
Найти общее решение уравнения
.
РЕШЕНИЕ.
Данное уравнение является уравнением второго порядка типа (6). Интегрируя, получим уравнение первого порядка:
.
Для получения общего решения необходимо вычислить интеграл:
.
Интеграл от арктангенса берем по частям:
Отсюда получаем общее решение уравнения:
.