Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде:

(3)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой

.

Тогда

.

После подстановки в уравнение получим уже известное нам уравнение с разделяющимися переменными (2) относительно неизвестной функции t. Найдя эту функцию, совершаем обратную замену и выражаем неизвестную функцию у.

Однородное уравнение можно классифицировать сразу по следующему признаку: в каждом слагаемом однородного уравнения (3) суммарная степень переменных x и y одинакова.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ.

Нетрудно убедится, что в данном уравнении никакими алгебраическими преобразованиями разделить переменные не удается. Однако, можно заметить, что в каждом слагаемом данного уравнения суммарная степень переменных x и y одинакова и равна 2. Это является характерным свойством однородных уравнений.

Делаем замену

,

и подставляем в уравнение. Следовательно, в новых переменных уравнение принимает вид:

,

или, сокращая на :

.

Перенося члены, содержащие t, в правую часть и записывая , видим, что переменные в уравнении легко разделяются:

Приводя правую часть к общему знаменателю, и разделяя переменные, получим:

.

Интегралы от обеих частей легко вычисляются:

, , .

Теперь возвращаемся к старым переменным, то есть заменяем

: .

После простых преобразований решение приводится к виду:

.

Отметим, что общим решением дифференциального уравнения может являеться любая функция от x, y, C, в том числе и неявная, как это получилось в данной задаче. Отметим также, что преобразования, приводящие решение к более простому виду носят субъективный характер, поэтому вид решения одного и того же уравнения может существенно различаться.

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

РЕШЕНИЕ.

Данное уравнение является однородным, поскольку суммарная степень переменных x и y в каждом слагаемом одинакова (равна 1). В соответствии с общим методом решения однородных уравнений делаем замену переменной:

, .

Подставляя данные соотношения в исходное уравнение, получим:

,

или сокращая на x

.

Видно, что получилось уравнение с разделяющимися переменными:

.

Интегралы от обеих частей уравнения являются табличными. Интегрируя, имеем:

, или .

Теперь возвращаемся к старым переменным, то есть делаем замену

: .

Данное выражение уже является общим решением уравнения, однако его можно привести к более простому виду. Для этого умножим обе части уравнения на х и перенесем y в левую часть:

.

Возводя теперь обе части уравнения в квадрат после элементарных преобразований, окончательно получим: .

Для получения частного решения мы должны в общее решение, вместо x и y подставить , из начального условия и определить значение С. В нашем случае начальное условие имеет вид:

, то есть , .

Подставляя данные числа в общее решение, получим:

, откуда .

Подставляя найденное значение в общее решение, получим искомое частное решение:

, или .