Краткая теория к контрольной работе понятие дифференциального уравнения

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных и производные различных порядков этой функции.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать:

.

Порядок старшей производной, входящей в ДУ, называется порядком ДУ.

Решением ДУ называется такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Рассмотрим простой пример. Дано дифференциальное уравнение . Это уравнение второго порядка, поскольку старшая производная в нем – вторая.

Представим левую часть в виде:

Интегрируем:

Оставшуюся производную в левой части снова расписываем в дифференциалах:

Еще раз интегрируем:

Таким образом, решение ДУ принципиально неоднозначно, поскольку в него входят произвольные постоянные.

Общим решением ДУ называется решение , которое является функцией переменной х и произвольных независимых постоянных.

Полученное в приведенном примере решение является общим.

Частным решением ДУ называется решение, полученное из общего решения при конкретных числовых значениях постоянных.

ДУ задает семейство интегральных кривых на плоскости. Для выделения определенной интегральной кривой достаточно задать точку, через которую проходит искомая кривая и направление, в котором она проходит через эту точку. Такие условия называются начальными.

Например, если в рассмотренном примере ввести начальные условия , и подставить их в уравнение, то получим

Подставляем найденные значения постоянных в общее решение:

- получили частное решение при заданных начальных условиях.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида называется уравнением первого порядка.

В этом уравнении х – независимая переменная, - неизвестная функция, - производная неизвестной функции.

Если из этого уравнения можно выразить производную:

(1)

то ДУ называется уравнением, разрешенным относительно первой производной.

Общим решением уравнения (1) называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при любых значениях постоянной С.

Таким образом, в общее решение ДУ первого порядка входит одна произвольная постоянная.

Частным решением уравнения (1) называется функция , полученная из общего решения при конкретном значении .

Рассмотрим пример: - ДУ первого порядка. Распишем левую часть в дифференциалах:

Интегрируем: - общее решение.

Это решение описывает семейство парабол. Для нахождения частного решения зададим начальные условия: и подставим их в общее решение:

.

Подставляем найденную С в общее решение: - частное решение ДУ.

Уравнения с разделяющимися переменными

Если правую часть уравнения (1) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая – только от у:

(2)

то такое ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения таких уравнений называется методом разделения переменных.

Для его использования запишем производную как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной и все, что содержит переменную х, соберем в одной части равенства, а все, что содержит переменную у – в другой:

Интегрируем полученное равенство и получаем общее решение уравнения:

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ:

Выразим из этого уравнения :

.

Видно, что данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (2), то есть его можно привести к виду:

, где .

Представим производную в виде

: .

Перенося в одну сторону члены содержащие x, а в другую - члены содержащие y, получим:

.

Интегрируя левую часть по x , правую по y , имеем:

,

или

.

Производя потенцирование (операция обратная логарифмированию), получим общее решение уравнения:

.

Поскольку мы вычисляли неопределенные интегралы от обеих частей уравнения, после интегрирования мы должны к одной из них прибавить произвольную константу С. Однако, в силу ее произвольности, мы можем прибавлять любую функцию от С. В данном случае, для приведения окончательного ответа к более компактному виду, мы прибавили . Данный прием будет часто применятся нами в дальнейшем.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ:

Группируя члены содержащие производную, приведем уравнение к виду:

.

Выражаем :

и видим, что данное уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными при . Уединяя члены, содержащие x и y, и интегрируя, получим:

.

Интеграл по y является табличным:

.

Произвольную константу С, можно прибавлять к любой части уравнения, поэтому пока опустим ее и добавим после интегрирования правой части.

Интеграл по х приводится к табличному, если выделить в знаменателе полный квадрат:

.

Приравнивая интегралы от правой и левой частей, получим:

,

или окончательно

.

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию: .

РЕШЕНИЕ:

Чтобы найти частное решение, сначала найдем общее решение ДУ. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Чтобы убедиться в этом, вынесем в первом и втором слагаемом соответственно x и y за скобки и разделим уравнение на :

.

Тогда и получили уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

и интегрируем обе части равенства. Соответствующие интегралы легко вычисляются с помощью подведения переменных x и y под знак дифференциала:

  .

Подставляя начальное условие в общее решение, получим:

 ,

откуда частное решение

.