40. Постан. З-чи интер-ния. Интер-ный многоч. Сплайны.

П усть некот. ф-ция задана таблично (n+1) знач.: (x₀,y₀),(x₁,y₁),…,(x_n,y_n). Треб-ся найти ф-лу f(x) такую, что y_i=f(x_i), где i=0,n. В данной постан-ке з-ча неопред., т.к. реш. неединс-но. Для единст-ти реш., выбир. конкрет. класс ф-ций (показат., log, и т.д.). Чаще всего реш. ищут в классе многочлен. и формулир. з-чу т.о.: по (n+1)-точке построить многочлен n-ой степ. y=P_n(x) такой, что y_i=P_n(x_i). Процесс нахожд. реш. наз. интерполив-ем, ф-ция интерпол-ной, h=x_i-x_i-1-шагом инт-ия точки y_i,x_i-узлами интер-ния. Если строится многоч., говорят о параболич. интерпол-нии. Если h=const для i=0,n – узлы наз-ют равноотстоящими.

I. Интер-ный многочлен Ньютона для ф-ий с равноотс. узлами. Пусть даны (n+1)-точка и причем. x_i+1=x_i+h=x₀+ih; для i=0,n. Построим многоч. n-ой степ.т/что P_n(x_i)=y_i. Реш. б/м искать в виде: P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+…+a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1). Найд. коэф-ты a_i, i=0,n; для этого б/м подст-ть посл0но в выражен. вместо x знач. x₀,x₁,…,x_n. Положим x=x₀ => a₀=y₀, положим x=x₁ => a₁=(y₁-y₀)/h=Δy₀/h, положим x=x₂ => a₂=Δ²y₀/2h² и т.д. Т.О.: Наз. ф-лой интерпол-ния вперед (пригодна для вычисл. точек, лежащ. в нач. таблицы). Для вычис знач. в точках, лежащ. в конце таблицы использ. 2-ой интерпол-ый многоч. или ф-лу интерпол-ия назад:

II. Интерпол-ый многоч. Лагранжа для ф-ций с неравноотст. узлами. Введ. вспомог. ф-ию: G_i(x)-есть многочлен n-ой степ., причем

Рассм-м сумму:

нетрудно видеть, что L_n(x)-многоч. n-ой степ., причем L_n(x_i)=y_i, т.е. L_n(x) есть интерпол-ный многоч. наз. многоч. Лагранжа.

43. Обработка результатов наблюдений. Уточнение параметров методом средних и методом наименьших квадратов.

Пусть даны n-точек (x_i,y_i) и пусть завис-ть выбр: (1), где x-перем., a_i-парам-ры, m<=n, постав. з-чу о нахожд. пар-ров т.о., чтобы выбр. зав-сть как м/но точнее совп. с зад. точками. Свед. з-чи к с-ме из n ур-ий с m неиз-ми (m<=n) на прак. м/т привести или к неодназ-сти реш. или к его отсутс. из-за погреш. данных, п/у рассм-м м-ды приводящие к с-ме из m ур-ний.

I. М-д выбр-х точек. Если зав-сть выбр. и известен вид крив., постр. по задан. точкам, то на кривой выбир. m точ. прим-но равн-но распред-х,

п ричем необяз-но совп-щие с данными, подст-ляя выбран. точки в (1) получ. с-му из ур-ний с m-неизвестн.

II. М-д средних. Обознач. ч/з ε_i=f(x_i,a₁,…,a_n)-y_i=y^-_i-y_i и наз. уклонением. Разоб. данные точ. на m групп с прим-но равным кол-вом точек в кажд.

Б /м считать пар-тры наилуч-ми, если

сумма уклон-й по кажд. группе =0. В рез-те получ. с-му из m ур-ний. Т.к. ε_i имеют знак, то не всегда равен-во суммы уклон-й дает хорош. рез-т. Этого недост-ка лишен след-щий м-д

III. М-д наим-х квадр.Б/м счит. парам. наилуч-ми, если сумма квадратов уклон. наим-шая т.е. з-ча сводится к нахож-ию минимума ф-ции: по необх-му призн. экстремума ф-ции многих перем-х, приходим к с-ме: →

решив к-ую найдем парам-ры. Если искомые парам. входят в ур-ние линейно, то приходим к след-щей с-ме: Пусть f(x,a₁,…,a_m)=φ₀(x)+a₁ φ₁(x)+…+a_m φ_m(x), тогда

Y_i= φ₀(x_i)-y_i , тогда частн. производ. им. вид:

М-д обладает тем приемущ-вом что если S наименьшая, то и ε_i наименьшии. Недостаток – больш. объем вычислений.

42. Методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Многие матем., физич., технич. з-чи в к-ых рассм-ся ск-ть измен. одной велич. по отнош. к др. приводят к ДУ-ям. Рассм. ДУ 1-го порядка с 1-ой переем.: F(x,y,y’)=0; y=y(x); Привед. ДУ к виду y’=f(x,y) (1) б/м искать частное реш., для чего зададим нач. услов.: y(x₀)=y₀ (наз. з-ча КОШИ).

Реш. б/м искать в виде таблицы на некот. отр. [a,b] с некот. шагом h постоянным или нет, обычно за x₀=a

Реш ДУ с пом-ю ряда Тейлора. Доп-м реш. ур. y’=f(x,y) раскл-ся в ряд Тейлора в окрестн. т. x₀ :

Пусть x₁=x₀+h, обозн. y(x₀)=y₀ подст-яя вместо x=x₁, получ.: y₀ -дано

y₀’=f(x₀,y₀) из (1). Для нахожд. y’’…y⁽ⁿ⁾…продиф-м правую часть (1) как сложную ф-цию: и т.д.

анал-но, полагая x=x₂= x₁+h наход. y₂ и т.д. Т.о. дан. м-д реш. з-чу полн-ю, погрешность реш. опред-ся на основе остаточ. члена ряда Тейлора. Недост. яв-ся необх-ть вычисл. производ. высших порядков, что затруднительно на ЭВМ.

Реш. ур-ий м-дом Рунге-Кутта (РК).

М-д сост. из группы м-дов объед-х общей идеей и дающих различ. точн. Не треб. вычисл. частных произв-х. Кажд. м-д хар-ся порядком. М-д наз. м-дом порядка k, если расчет. ф-ла м-да совпад. с ф-лой Тейлора до слогаемого с h^k.

I. М-д Эйлера (м-д РК 1-го порядка)

Пусть изв-но реш. ДУ y=F(x), к-ое прох. ч/з т. (x₀,y₀) Провед. касат. к y=F(x) ч/з т. (x₀,y₀) ч/з т. x₁=x₀+h провед. перпен-ляр к Ox до пересеч. с касат. в т.А₁ за y₁ примем ординату этой точки, y₁ найдем из ур. касат.: y-y₀=F’(x₀)(x-x₀) полагая x=x₁=x₀+h; y=y₁; y₁=y₀+f(x₀,y₀)h. Провед. касат. к y=F(x) к т. (x₁,y₁), рассужд. анал-но нах-м А₂ и т.д.:

Недост. м-да яв-ся довол. больш. погреш., к-ая с каждым шагом увелич., п/у м-д в осн. использ. для предварит. оценок. Оч-дно, что погреш-ть ↓ с ↓ h (шага)

II. Исправл. м-д Эйлера (м-д РК 2-го порядка). Пусть анал-чно постр. 2 касат l₁, l₂ с углов. коэф-ми k₁ и k₂ соот-но. Ч/з т. (x₀,y₀) пров. прямую L с коэф-том наклона

За y₁ возьм. ординату пресеч. прямых L и

x=x₁=x₀+h. Найдем y₁. Имеем k₁=F’(x₀)=f(x₀,y₀); k₂=F’(x₁)=f(x₁,y₁)= f(x₀+h,y₀+ f(x₀,y₀)h).

Ур-ние прямой L: y-y₀=k(x-x₀), полагая y=y₁, x=x₁, получим:y₁=y₀+kh, найдем y₂ и т.д., зная точку x_i,y_i найдем y_i+1:

М/но показ., что ф-ла совпадает с рядом Тейлора до слагаемого с h²

III. М-д Эйлера модифиц.

Общий вид для всех случаев:

IV. М-д РК 4-го порядка. Этот м-д яв-ся дважды применим. модиф. м-дом Эйлера к одной точке. (x_i,y_i), то

где где

***

Приведем сист. огранич. к канонич. виду

Вновь введенные переменные не явл-ся предпочтительными и случай 4 явл-ся к случаю 3.

Общая идея симплекс метода и ее реализация в таблице

Чаще всего реализацию симпл.метода сводят к следующему: на нач. этапе систему ограничений, т.е.д/б выделен базис, базисное реш-е не должно быть отрицательным или что равносильно все правые части должны быть не отрицат. числами. Из ЦФ должны/б исключены основные или базисные переменные. Удобно для преобр. Сист использ.шаги жардано-гаусса.