38. Решение уравнений методами бисекций и итераций.

Метод бисекций.

Пусть дано ур-ие f(x)=0 где f(x)-непрерывно на некотором конеч или бесконеч интерв. Конем этого ур. Назовем  число обращ-е f(x) в 0, если f(x₀)=f ^/(x₀)=…f^k-1(x₀)=0, то x₀ корень кратности к точно решить данное ур-ие не всегда удается, будем гов-ть, что x­­­^—есть приближенное решение ур-ия с точн-ю  если |a-x­^––| <=,где а точный корень –<= a-x^––<= или a-<=x^––<=a+.Задача о нахожд приближ корня обычно реш-ся в 2 этапа 1) отдел-ся корень т.е. ищется по возм-ти небольш отр-ок [ , ] содерж ровно один корень. 2) корень уточн-ся до нужной точности. 1) а) отделение корня м.о. пр-ти графически. б) если график сложен, то ур-е мо переписать в виде g(x) =f(x) (и построить гр-ки y=g(x), y=f(x) и точка пересеч б.т. корень). в) мо для отделен корня исп-ть. теор. Т.если непрерыв ф-я на концах отр приним-ет значен разных знаков, то на отр-ке она имеет по кр-не. мере один корень. Если ф-я монотонна, то кор-нь один. Пусть изв-но, что корни Ур-я нах-ся на конц отр-ка [a,b] разделим отрезок на равные части точками a=₀­<₁<…<_n=b и проверим знаки на концах отр-ка [_i ,_i+1] i=0,n-1 если условие теор вып-ся отр-к содерж корень, алгор-м метода м.б. следующим а,в концы отрезка, n-кол-во отр-ов деления.

2) одним из простейших способов уточнения корня явл-ся метод бисекции сост-ий в следующем: пусть на отр. [a,b] yf[-cz ровно 1 корень уровн. Найдем корень с точн-ю . Разделим отр. Пополам. Точкой x₁ =(a+b)/2, половину содерж корень вновь делим пополам итд. Процесс прекращ, когда длина отр-ка не станет <=2 тогда за приближ значение корня x^–– возьмем середину этого отр-ка.

Алгоритм следующий.

Метод итераций (последов-ых приближений)Уравнение f(x)=0 перепишем в виде x=(x), пусть каким либо образом найдено приближенное значение корня x₀ подставляя x₀ в правую часть ур-я получим число x₁=(x), продолжая таким же обр-ом получим x_n=(x_n-1) получим бесконеч числов посл-ть {x_n }допустим, что она имеет lim т.е. limx_n­=с (n–>беско-ть)тогда предполагая непрерыв (x) и переходя к пределу для x_n получим limx_n=lim(x_n-1) (x_n,n–> беск-ти)=> c=(c) т.е. с-корень. Вопрос о сходимости {x_n} решает теорема Т. Пусть ф-я (x) определена и диффер на некотор отр [a,b] и удовл услов 1) (x) принадлеж [a,b], 2)  ^/(x)<=q<=1 x принадлеж [a,b] тогда посл-ть {x_n} задаваемая соотнош x_n=(x_n-1) сходится при  x₀ взятом из [a,b]

Теорема явл-ся достаточной но не обязат для сходимости.

Геометрич смысл метода итераций.

Е

x₀,

сли (x) услов теор не удовлетвор мо провести след преобр f(x)=0 умнож обе части на  , f(x)=0 и прибавим x, x=x+ f(x), тогда (x)=x+ f(x) подбирая  добиваемся выполнения условия теоремы .На практике для получения приближ значения корня с точностью  вычисл прекращ, когда |x_n-x_n-1|<= за корень бирут x^––=x_n.

Алгоритм имеет вид

39. Реш-е Ур-ий методами хорд и касс-ых.

М-д хорд.

Пусть корень Ур-ния f(x)=0, [a,b] допустим, что на [a,b] существ. f’’(x), к-ое не мен. знак. Пусть для определ-ти f(a)<0. Пусть f’’>0 (рис.): провед. хорду АВ и найдем ее пересеч. с осью x. Пусть А₁ пересечение y=f(x) и прямой x=x₁, проводим хорду А₁В, пусть x₂ – ее пересеч. с осью x и т.д.

Получ. ∞ числов. послед-ть {x_n}. Для нахожд. x_i используем Ур-ние прямой, прох. ч/з 2 точки:

найдем:

В послед-сти x_n: a=x₀<x₁<…<x_n<…<b т.е. посл-ть x_n имеет предел, как возрост-ая и ограниченная сверху, т.е.

перейдя к пределу:

т.е.с-кор-нь

М-д касательных. Пусть корень ур-ния f(x)=0 отделен на отрез. [a,b], причем f’’ не меняет знака на [a,b]. Возьмем для опред-сти f(a)<a, f’’>0

Провед. касат. к тому концу дуги АВ в к-ром f*f’’>0. Пусть x₁ ее пересеч. с Ox обозначим ч/з b₁ пересеч. прямой x=x₁ и дуги АВ. Провед. касат. в т.В₁ пусть x₂ ее пересеч. с Ox и т.д. Получ. ∞ послед-ть {x_n} имеющую предел как убывающая и огранич. x_n – б/м искать из ур-ния касат. Ищем x₁:

y-f(b)=f’(b)(x-b), полагая y=0 x=x₁

анал-но …

т.к. то переходя к пределу, получим:

т.е. с – корень

На практике для получ. корня с точн. ε заканчив. вычисл., когда

***

знания о том, как готовить пищу, о том, как добраться до работы и т.п). P - условие применимости ядра пр. Когда P принимает значение "истина", ядро пр активизируется. При ложном P ядро пр. не м.б. использовано. A=>B - ядро пр. Обычное прочтение ядра: "Если А, то В." Иногда допускают альтернативный выбор: "Если А, то В, иначе С." Знак => может истолковываться как логическое следование В из истинного А, или А описывает условия, необходимое для того, чтобы можно было совершить действие В. N - постусловия пр. Используются только если ядро продукции реализовалось. Пример: (i) покупка, Q при посещении торговых точек, P наличие денег, A=>B если хочешь иметь вещь Х, то заплати в кассу ее стоимость и отдай чек продавцу, N в описи товаров магазина уменьшить количество вещей. ПС состоят из трех компонентов; базы знаний, содержащей правила пр.; базы данных, которая в виде фактов отображает текущее состояние задачи; управляющей структуры, решающей, какое из правил пр. надлежит применить следующим. В основе правил пр. лежит простой принцип: они определяют набор разрешенных преобр-й, с помощью кот-х происходит продвижение от нач-го состояния до окончательного реш-я поставленной задачи.