2.4. Статистическое оценивание количественных значений. Интервальная оценка.

2.4.1. Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности

² уже известна

Если определить среднее арифметическое в выборке объемом n, взятой методом случайного отбора образцов из нормальной генеральной совокупности со средним арифметическим  и дисперсией ² и нормировать его, то выражение (2.1) подчинится нормальному распределению со средним значением  = 0 и дисперсией ² = 1.

Приняв значение U, соответствующее уровню значимости , за U_ , получают, что вероятность неравенства

  (2.8)

будет (1- ). Видоизменив эту формулу, получают нижнюю границу и верхнюю границу нахождения среднего арифметического . Это и есть доверительный интервал.

Пример 2.5.

Известно, что среднее арифметическое отклонение массы изделий, изготовленных неким технологическим процессом, составляет

 =3,5 г. Далее в результате измерения массы этих изделий в выборке объемом n=4, извлеченной случайным отбором, было получено г. Предлагается сделать интервальную оценку среднего арифметического для массы в генеральной совокупности при доверительной вероятности 99%.

Решение.

Поскольку 1 -  = 0,99, то  = 0,01. По табл.1 Приложения находим U_0,01 = 2,576.

Нижняя граница г.

Верхняя граница г.

Таким образом, среднее арифметическое генеральной совокупности находится в интервале 58,3    72,5 г.

2.4.2. Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности ²

неизвестна

Если дисперсия генеральной совокупности ² неизвестна и при этом использовать выражение (1.10), то определенное при помощи выражения (2.2) распределение статистической величины t принимает распределение Стьюдента при числе степеней свободы Ф = n - 1. Доверительный интервал, обусловленный вероятностью (1 - ), выражают:

  (2.9)

причем доверительные границы

(2.10)

Пример 2.6.

Для того, чтобы узнать величину поводки, полученную при термообработке штампованных деталей, была взята выборка n = 10 и получены = 0,085 мм, _е = 0,042 мм.

Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для величины поводки этих деталей.

Решение.

Доверительные границы

Доверительный интервал 0,054 мм - 0,116 мм.

2.5. Статистическая проверка доли дефектных изделий в генеральной совокупности

Если подсчитать число дефектных изделий в произвольно отобранной выборке объемом n, взятой методом случайного отбора, например, из генеральной совокупности со средней долей дефектных изделий в технологическом процессе равно р, то поскольку известно, что это число подчиняется биномиальному распределению, определяют вероятность превышения числом дефектных изделий значения r.

Вместе с тем при условии р  0,5 и nр  5 биномиальное распределение может приблизиться к нормальному распределению. Другими словами, в биномиальном распределении:

Среднее значение равно nр;

Среднее квадратическое отклонение равно .

Исходя из этого статистику U₀ определяют по формуле:

(2.11)

Пример 2.7.

Прежде средняя доля дефектных изделий в технологическом процессе составляла 11,5%. После внесения в технологический процесс усовершенствований была взята выборка объемом 70 шт., в которой число дефектных изделий оказалось равным 4. Можно ли утверждать, что различие имеет место?

Решение.

1. Н₀: р = р₁.

2. Н₁: р  р₁.

3. Убеждаются в возможности приближения к нормальному распределению n^.p = 700,115 = 8,05  5, p = 0,115  0,5, следовательно можно считать приближение к нормальному распределению возможным.

4. Вычисляют по выражению (2.11) статические оценки:

5. Принимают решение:



поэтому нельзя считать, что усовершенствования были эффективными.