4.3. Дробный факторный эксперимент

ПФЭ требует большого числа опытов, причем часть из них несет мало информации. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) позволяет сократить число опытов и в то же время получить основной объем необходимой информации.

Эксперимент, составляющий по объему только часть ПФЭ, называется дробным факторным экспериментом или дробной репликой. Существует ½ реплики, ¼ реплики, 1/8 реплики и т.д. Условные обозначения дробных реплик и количество опытов даны в табл.4.4.

Таблица 4.4

Дробный факторный эксперимент

Кол-во факторов	Дробная реплика	Условное обозначение ДФЭ	Кол-во опытов
			Для дробной реплики	Для ПФЭ
3	½ реплики от 23	23-1	4	8
4	½ реплики от 24	24-1	8	16
5	½ реплики от 25	25-1	16	32
5	¼ реплики от 25	25-2	8	32
6	½ реплики от 26	26-1	32	64
6	¼ реплики от 26	26-2	16	64
6	1/8 реплики от 26	26-3	8	64
7	½ реплики от 27	27-1	64	128
7	¼ реплики от 27	27-2	32	128
7	1/8 реплики от 27	27-3	16	128
7	1/16 реплики от 27	27-4	8	128

При образовании реплик необходимо помнить, что количество опытов должно быть хотя бы на единицу больше, чем количество факторов в ДФЭ.

Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействий. Реплики, у которых линейные эффекты смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка, являются наиболее эффективными, они обладают наибольшей разрешающей способностью и называются главными.

В реальных условиях разработчик может не иметь твердой уверенности в отсутствии того или иного взаимодействия факторов. В этом случае надо знать, когда и какие эффекты определяются совместно, определить разрешающую способность дробных реплик. Для этого пользуются понятиями «определяющие контрасты» и «генерирующее соотношения».

Рассмотрим эти понятия на примере полуреплики 2^3-1 . Соотношение показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, или какое взаимодействие факторов заменено данным фактором, называется генерирующим соотношением:

Х₃ = Х₁Х₂ (4.19)

Покажем эту полуреплику в качестве таблицы:

Таблица 4.5

План ДФЭ 2^3-1

№ опыта	Х3=Х1Х2
	Х1	Х2	Х3	Х1Х2Х3
1	+	+	+	+
2	-	+	-	+
3	+	-	-	+
4	-	-	+	+

Для произведения трех столбцов матрицы в каждом опыте имеем:

+1= Х₁Х₂Х₃ (4.20)

эти же уравнения можно получить из генерирующего соотношения, умножением левой и правой его части на Х₃.

Произведение столбцов матрицы равное +1 называется определяющим контрастом. Контраст помогает найти смешанные эффекты. Для того, чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на фактор, соответствующий эффекту. Так для полуреплики 2^3-1 с определяющим контрастом

1= Х₁Х₂Х₃ имеем:

Х₁ = Х₁ ²Х₂Х₃ = Х₂Х₃ (4.21)

Х₂ = Х₁Х₂ ²Х₃ = Х₁Х₃ (4.22)

Х₃ = Х₁Х₂Х₃² = Х₁Х₂ (4.23)

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками линейных эффектов:

b₁=₁+₂₃; b₂=₂+₁₃; b₃=₃+₁₂ (4.24)

Эффект смешивания в принципе снижает точность оценок. Однако, поскольку мы считаем модель линейной и взаимодействия пренебрежимо малыми, то точность оценок будет достаточной.