Приложение б
Приложения векторной алгебры к решению задач
Задача 1 Найти скалярное и векторное произведения векторов:
,
Решение
1 Из разложения векторов по ортам запишем их координаты:
2 По формуле (12)
имеем:
.
3 По формуле (16) находим векторное произведение:
Ответ: .
Задача 2 Даны векторы: . При каком значении эти векторы перпендикулярны?
Решение
Находим скалярное произведение этих векторов по формуле (12):
Так как
,
то по формуле (14)
.
Отсюда:
Ответ: при .
Задача 3
Даны векторы:
.
При каких значениях
эти векторы компланарны?
Решение
Из разложения
вектора
по ортам запишем его координаты:
.
По формуле (20) найдём смешанное произведение:
Так как по условию
вектора компланарны, то по признаку
компланарности (17)
,
полученное квадратное уравнение почленно
разделим на 2 и запишем в стандартном
виде:
Решая квадратное уравнение, получим
Ответ: при и .
Задача 4 Заданы четыре точки: , определяющие треугольную пирамиду . Найти:
длину медианы боковой грани ;
угол между ребрами и ;
площадь основания ;
объём пирамиды;
длину высоты пирамиды
Для решения задачи выполним схематичный чертёж (рис. 7).
Рис. 7
Решение
Найдём координаты
векторов
по формуле (1):
Проведём в боковой
стороне грани
медиану
,
точка
по свойству медианы делит отрезок
пополам.
По формулам (8) найдём координаты середины отрезка:
Найдём длину
вектора
по формуле (3).
По формуле
(11)
.
.
Для вычисления площади основания пирамиды воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения, тогда:
Найдём
по формуле (16):
(кв. ед.).
Для вычисления объёма пирамиды воспользуемся выражением геометрического смысла смешанного произведения:
Найдём
(
)
по формуле (20):
(куб. ед.)
Найдем
длину высоты пирамиды -
Из элементарной геометрии, знаем
Задача 5 Упростите выражение
Для упрощения выражения воспользуемся распределительным законом векторного произведения и векторным произведением орт (таблица 1).
Задачи для самостоятельной работы
Задача
6 Найти скалярное произведение
векторов
и
,
если
,
и угол между векторами
и
равен
При решении использовать распределительный закон скалярного произведения и определение скалярного произведения
Ответ: - 96
Задача
7 Определить угол между векторами
и
Ответ:
Задача
8 Показать, что точки
,
,
и
лежат в одной плоскости
При решении использовать формулу (1) и условие компланарности векторов формулу (17).
Задача
9 Вычислить объём треугольной
пирамиды с вершинами
,
,
и
.
Найти длину высоты пирамиды, опущенной
на грань
.
Из школьного курса стереометрии знаем:
,
тогда
Ответ: 20 (куб. ед.);
