3.5 Векторное произведение в координатах
Если векторы
имеют координаты:
,
,
то векторное произведение выражается в виде определителя третьего порядка
(17)
Замечание Определитель вычисляется по правилу разложения по элементам первой строки
(см. Модуль ЕН.01.М.01 «Элементы линейной алгебры»).
4 Смешанное произведение
4.1 Определение смешанного произведения
Смешанным
произведением векторов
называется скалярное произведение
вектора
на вектор
,
то есть
.
4.2 Алгебраические свойства смешанного произведения
Смешанное произведение трёх векторов равно нулю, если:
- хотя бы один из векторов равен нулю;
- два из трех векторов коллениарные;
- три ненулевых вектора лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости (компланарные вектора).
Смешанное произведение не изменяется, если в нём поменять местами знаки векторного
и скалярного
умножения, то есть
.
Замечание
В силу этого свойства смешанное
произведение векторов
записывается в виде (
).
Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке:
(рис. 4)
Рис. 4
При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет только знак:
.
4.3 Геометрические свойства смешанного произведения
Из свойства 1 смешанного произведения следует условие (признак) компланарности трёх векторов.
1 Для того, чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, то есть
(18)
2 Смешанное
произведение
по модулю равно объему параллелепипеда,
построенного на векторах
(рис. 5).
(19)
Рис. 5
Замечание Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах (рис. 6) равен
(20)
Рис. 6
4.4 Смешанное произведение в координатах
Если векторы имеют координаты:
,
,
,
то смешанное произведение выражается в виде определителя третьего порядка
(21)
Вывод. Произведения векторов и их взаимное расположение в пространстве можно представить в виде структурной схемы 1
Приложение а Произведение векторов и их взаимное расположение
