1 Векторы. Линейные операции над векторами
В пункте 1 рассмотрим некоторые основные понятия и определения, связанные с векторами в пространстве.
1.1 Основные понятия
Вектором
называется направленный отрезок
Отрезок, ограниченный точками А, В называется направленным, если сказано, какая
из этих точек считается началом отрезка, какая концом. Направлением отрезка считается направление от начала к концу.
О всяком направленном
отрезке
говорят, что он представляет вектор
(получен приложением вектора
к точке
,
тогда
- начало вектора,
- конец)
Длина отрезка
называется длиной (модулем)
вектора
или
вектора
и обозначается символом
Пусть в пространстве
задана, декартова прямоугольная система
.
Вектор в пространстве может быть задан
с помощью его координат – упорядоченной
тройки вещественных чисел:
или
.
Скалярные проекции
вектора
на оси координат называются координатами
вектора:
,
,
,
Если вектор задан
координатами его начала
и конца
,
то:
(1)
Вектор
начало, которого совпадает с началом
координат, называется радиусом -
вектором. Координаты радиус-вектора
совпадают с координатами его конца.
Длина вектора вычисляется по формулам:
(2)
(3)
Для векторов
и
их сумма:
(4)
Если
- вещественное число, то:
(5)
Упорядоченная
тройка единичных векторов (ортов)
определяет базис пространства
.
Любой вектор
может
быть однозначно разложен по базису:
(6)
1.2 Деление отрезка в данном отношение
Координаты точки
,
делящей отрезок
в отношении
(рис. 1) определяются по формулам:
,
,
. (7)
Рис.1
Если
,
то есть точка
делит
отрезок
пополам, то :
(8)
2 Скалярное произведение
2.1 Определение скалярного произведения
Скалярным
произведением двух векторов
и
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между
ними:
(9)
2.2 Алгебраические свойства скалярного произведения
1
или
.
2
(переместительный закон).
3
(распределительный закон).
4
(сочетательный закон).
2.3 Геометрические свойства скалярного произведения
Из формулы (9) следует условие (признак) перпендикулярности векторов
1 Для того чтобы векторы и были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю
(в векторной форме),
(10)
2 Угол между векторами находится по формуле:
(11)