§ 6. Метод решения линейного однородного д.У. 2-го порядка с постоянными коэффициентами

(11),

где – const.

, где и – линейно

независимые решения (11). Будем искать частное решение (11) в виде , , . Тогда получим , .

Опр. Уравнение (12) называется характеристическим уравнением для д.у.(10).

Т.о., если удовлетворяет (12), то является решением д.у. (11). Рассмотрим решения (12):

а) , и , – решения (11). Т.к. и линейно независимые решения, то – общее решение (11).

ПР. ,

б) и ,

, иначе и линейно зависимы. Будем искать , , . Подставим в (11), получим: , , т.к. – корень уравнения (12). , т.к. или (любое u такое, что ). Т.о., если и , .

ПР. .

в) .

Вставка про комплексные числа.

Опр. Мнимой единицей называется такое число i, что .

Опр. Выражение вида , где , i – мнимая единица, называется комплексным числом.

Опр. Числа называются комплексно сопряженными.

Арифметические действия с комплексными числами производятся, как с многочленами, с учетом того, что .

Если для квадратного уравнения , то его корни имеют вид .

Итак, если для характеристического уравнения (12) , , , , где и – комплексные функции действительного аргумента. Очевидно, что если: удовлетворяет д.у., то также удовлетворяют этому уравнению: подставим в , получим и u, v – решения уравнения (11).

, и – решения уравнения (11), при этом и – линейно независимы .

ПР. .

§ 5. Метод решения однородного линейного д.У. N-го порядка с постоянными коэффициентами

, . (13)

Пусть – фундаментальная система решений, т.е. линейно независимы решения д.у. (13).

– характеристическое уравнение. (14)

Пусть – корень кратности , …, – корень кратности , .

Фундаментальная система решений (13):

	Характер корня уравнения (14)	Частное решение уравнения (13)
1.
2.
3.	комплексные сопряженные корни
4.

Общее решение .

ПР.

ПР.

ПР.

§ 6. Линейные неоднородные д.У.

Опр. Д.у. (15), где , – непрерывные функции в X, , называется линейным неоднородным.

Уравнение (16) – соответствующее однородное д.у.

Т.6. (Основная теорема теории лин. неоднородных д.у) Пусть – общее решение однородного д.у. (16), где – линейно независимые решения, а – некоторое частное решение неоднородного д.у. (15). Тогда есть общее решение неоднородного д.у. (15).

Д-во: Рассмотрим : (17). Пусть – общее решение , – некоторое частное решение (17). Покажем, что (18) – общее решение (17).

а) Подставим (18) в (17), получим: или .

б) Н.У.: , , , где , D – область, где выполнены условия теоремы о существовании единственного решения д.у., и – непрерывные функции. Покажем, что такие, что удовлетворяет Н.У.:

. , т.к. и линейно независимые решения по условию система имеет единственное решение, т.е. .

Д-во для случае аналогично.

Т.о., чтобы найти общее решение неоднородного д.у., надо знать какое-нибудь частное решение этого уравнения.