Глава 10. Дифференциальные уравнения
§ 1. Основные понятия Опр. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: , (1)
где
–
независимая переменная;
–
неизвестная функция одной переменной;
– ее производные.
Опр. Порядком диф. уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной неизвестной функции.
Опр.
Решением
диф.
уравнения
называется функция
,
которая при подстановке в уравнение
(1) (вместе с ее производными) обращает
его в тождество.
График функции называется интегральной кривой.
Пр
– диф. уравнение. 1-го порядка; функции
,
– его решения; вообще
–все решения данного уравнения.
Опр.
Общим решением
уравнения
(1) называется функция
,
удовлетворяющая условиям:
1)
удовлетворяет уравнению (1) при любых
конкретных значениях
;
2)
любое решение (1) можно получить из этой
функции подбором значений
, т.е. если
– решение (1), то
такие, что
.
Т.о.,
общее решение уравнения (1) – это
совокупность всех его решений, а
количество констант
совпадает с порядком уравнения. С точки
зрения геометрии
общее решение
– семейство
интегральных кривых.
Опр.
Частным решением
уравнения (1) называется функция,
получающаяся из общего решения при
определенных значениях постоянных
:
.
Опр. Задачей Коши для уравнения (1) называется задача отыскания частного решения д.у. (1), удовлетворяющего заданным начальным условиям:
(2)
Опр. Решение д.у. (общее или частное), полученное в неявном виде, называется интегралом уравнения (общим или частным).
П о л е з н ы й с о в е т: при решении задачи Коши не обязательно находить общее решение. Часто проще сразу находить значения постоянных по мере их появления, используя при этом начальные условия.
§ 2. Д.У. 1-го порядка
Опр.
Дифференциальным уравнением 1-го порядка
называется уравнение вида:
,
(3)
или 
(
).
Т.1 (О существовании и единственности решения д.у. 1-го порядка.)
Пусть
дано д.у.
.
Если функции
и
непрерывны в некоторой области D
на плоскости xOy,
содержащей точку
,
то существует единственное решение
этого д.у., удовлетворяющее условиям
(4).
Условие (4) называется начальным условием для д.у. 1-го порядка.
Опр.
Задача вида
называется задачей
Коши для д.у. 1-го порядка.
Геометрический смысл теоремы: при непрерывных и через точку проходит единственная интегральная кривая. Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной, называются особыми точками данного уравнения.
§ 2.1. Д.У. С разделяющимися переменными
Опр.
Уравнение
вида
(5),
где
непрерывные в некоторой области функции,
называется д.у.
с разделяющимися переменными.
Метод
решения:
(5):
(
)
– равенство двух дифференциалов.
Используя инвариантность формы 1-го
дифференциала, интегрируем левую и
правые части (
):
.
ПР.
.
ПР.
.
§ 2.2. Однородные д.У. 1-го порядка
Опр.
Уравнение вида
(6)
называется однородным
д.у.
1-го порядка относительно переменных
и
.
ПР.
или
.
Метод
решения:
замена
,
тогда
,
где
,
и
.
После такой замены уравнение (6) сведется
к уравнению с разделяющимися переменными
относительно искомой функции
.
Полезный
совет: если
вместо переменных
и
в уравнение (6) подставить
и
и при этом уравнение не изменится (
сократится), то оно является однородным.
ПР.
.
Данное уравнение является однородным,
т.к. его можно записать в виде (6):
.
После замены
уравнение примет вид:
.
После интегрирования:
,
вместо
подставим
:
– общий интеграл,
.
Или
.