I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ТВ)

1. Случайные события

1. Случайные события (сл.С.). Операции над событиями

В ТВ случайным событием A называют всё то, что может произойти или не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий S. Событие наступает в результате различных процессов, которые называются опытами (экспериментами).

Если при реализации данного комплекса условий S событие A всегда произойдёт (никогда не произойдёт), то оно называется достоверным (невозможным).

A, B, C,… – обозначение случайных событий.

 – достоверное событие,  – невозможное событие.

Примеры событий:

А – появление герба при бросании монеты;

В – выпадение чётного числа очков при игре в кости;

С – замерзание воды при сильном морозе;

D –выход из строя компьютера после пяти часов работы;

E – в перечне месяцев года после января идёт апрель.

С обытия A, B, D случайные, событие C достоверное, а событие E невозможное.

События, не разложимые на более простые, называются элементарными событиями (исходами). Множество всех элементарных исходов _i данного опыта образуют пространство элементарных событий . Любое событие A можно рассматривать как подмножество . Так, при бросании игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести элементарных исходов:

.

Событие B={выпадение четного числа очков при игре в кости} состоит из трех элементарных исходов – B={2,4,6}, событие _C={выпадение числа очков, кратного 3}={3,6}– из двух элементарных исходов.

Операции над событиями

Суммой событий называется событие, состоящее в наступлении или , или , или обоих событий вместе. Сумму событий обозначают или Союз «или» соответствует сложению.

Событие ( ) обозначает наступление хотя бы одного из событий .

Пример 1.1. В урне шесть шаров, отличающихся только номером . Наугад выбирают один шар. Обозначим событие . Событие состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3, или 5, т.е. шар с нечётным номером.

Произведением событий называют событие B, состоящее в наступлении всех этих событий. Обозначение произведения событий:

Союз «и» соответствует умножению

Пример 1.2. Есть колода игральных карт. Наугад берут одну карту. Обозначим события A = {вынут туз}, B = {вынута карта красной масти}. Тогда событие C = A∙B означает «вынут туз красной масти».

Разностью событий A и B (обозначается ), называется событие D, состоящее в наступлении события A и одновременном не наступлении события В. Для предыдущего примера событие означает, что выбран туз чёрной масти.

Если при каждой реализации комплекса условий S, когда происходит событие A, происходит и событие B, то будем говорить, что A влечёт за собой B, и обозначать этот факт или .

Если имеет место одновременно и , то события называются равносильными. В этом случае пишут .

События называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произойти одновременно:

.

Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Обозначаются они . При этом . очевидно, что .

Совокупность событий называется полной группой несовместных событий, если

.

Примером полной группы несовместных событий является пространство элементарных событий. Другой характерный пример – пара двух противоположных событий: . Например, выпадение герба и решки при однократном подбрасывании монеты, работоспособность компьютера и его неисправность в данный момент времени, попадание и непопадание в мишень при одном выстреле и т.д.

1. В урне 4 красных и 6 белых шаров. Все они пронумерованы от 1 до 10. Урны берут наудачу 1 шар. Событие – шар с чётным номером – обозначим через A, с номером, кратным 3, – через B, шар красного цвета – через C и шар белого цвета – через D. что представляют собой следующие события:

2. Докажите равенства:

3. При каких условиях справедливы следующие соотношения:

4. Установите, какие из следующих соотношений верны:

5. Упростите выражения:

6. На контрольной работе было 3 задачи. Событие – студент решил 1-ую задачу – обозначим через A, решил 2-ую задачу – через B и решил 3-ю задачу – через C. Найти выражения для следующих событий:

а) студент решил только 1-ую задачу;

б) решил только одну задачу;

в) решил только две задачи;

г) решил все задачи;

д) решил, по крайней мере, одну задачу;

е) решил не более двух задач.