7. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.
;
;
;
.
Вариант 14.
1.
Вычислить, используя подведение под
знак дифференциала:
.
Ответ проверить.
2.
Составить и вычислить какую-нибудь
интегральную сумму при
для
.
Найти точное значение этого интеграла
по формуле Ньютона - Лейбница. Определить
в процентах отличие полученной
интегральной суммы от точного значения.
3.
Вычислить по формуле Ньютона - Лейбница
,
используя замену
.
4.
Найти площадь, ограниченную линиями
(используя стандартную формулу).
5.
Найти площадь, ограниченную линиями
(используя стандартную формулу).
6. Тонкая пластина, имеющая форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом , вращается вокруг оси, проходящей через один из её катетов. Поверхностная плотность пластины равна . Угловая скорость вращения равна . Найти кинетическую энергию пластины (составив самостоятельно соответствующий интеграл).
Необходимые физические формулы: , , где
кинетическая
энергия,
масса,
площадь,
скорость,
расстояние
до оси вращения.
7. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.
; ; ; .
Вариант 15.
1.
Вычислить, используя подведение под
знак дифференциала:
.
Ответ проверить.
2.
Составить и вычислить какую-нибудь
интегральную сумму при
для
.
Найти точное значение этого интеграла
по формуле Ньютона - Лейбница. Определить
в процентах отличие полученной
интегральной суммы от точного значения.
3.
Вычислить по формуле Ньютона - Лейбница
,
используя замену
.
4. Найти площадь, ограниченную линиями (используя стандартную формулу).
5.
Найти площадь, ограниченную линией
(используя стандартную формулу).
6. Тонкая пластина, имеющая форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом , вращается вокруг оси, проходящей через её гипотенузу. Поверхностная плотность пластины равна . Угловая скорость вращения равна . Найти кинетическую энергию пластины (составив самостоятельно соответствующий интеграл).
Необходимые физические формулы: , , где
кинетическая энергия, масса, площадь, скорость, расстояние до оси вращения.
7. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.
;
;
;
.
Вариант 16.
1. Вычислить, используя подведение под знак дифференциала: . Ответ проверить.
2. Составить и вычислить какую-нибудь интегральную сумму при для . Найти точное значение этого интеграла по формуле Ньютона - Лейбница. Определить в процентах отличие полученной интегральной суммы от точного значения.
3. Вычислить по формуле Ньютона - Лейбница , используя замену .
4. Найти площадь, ограниченную линиями (используя стандартную формулу).
5. Найти площадь, ограниченную линией (используя стандартную формулу).
6.
Кусок тонкой проволоки длины
изогнут в форме квадрата и вращается
вокруг оси, проходящей через его сторону,
с угловой скоростью
.
Линейная плотность проволоки равна
.
Найти кинетическую энергию квадрата
(составив самостоятельно соответствующий
интеграл).
Необходимые физические формулы: , , где
кинетическая энергия, масса, длина, скорость, расстояние до оси вращения.