7. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.

; ; ; .

Вариант 5.

1. Вычислить, используя подведение под знак дифференциала: . Ответ проверить.

2. Составить и вычислить какую-нибудь интегральную сумму при для . Найти точное значение этого интеграла по формуле Ньютона - Лейбница. Определить в процентах отличие полученной интегральной суммы от точного значения.

3. Вычислить по формуле Ньютона - Лейбница , используя замену .

4. Найти площадь, ограниченную линиями при (используя стандартную формулу).

5. Найти длину дуги участка линии при (используя стандартную формулу).

6. Тонкий стержень длины , имеющий линейную плотность , вращается вокруг оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню. Угловая скорость вращения равна . Найти кинетическую энергию стержня (составив самостоятельно соответствующий интеграл).

Необходимые физические формулы: , , где

кинетическая энергия, масса, длина, скорость, расстояние до оси вращения.

7. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.

; ; ; .

Вариант 6.

1. Вычислить, используя подведение под знак дифференциала: . Ответ проверить.

2. Составить и вычислить какую-нибудь интегральную сумму при для . Найти точное значение этого интеграла по формуле Ньютона - Лейбница. Определить в процентах отличие полученной интегральной суммы от точного значения.

3. Вычислить по формуле Ньютона - Лейбница , используя замену .

4. Найти площадь, ограниченную линиями (используя стандартную формулу).

5. Найти длину дуги участка линии при (используя стандартную формулу).

6. Тонкий стержень длины , имеющий линейную плотность , вращается вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. Угловая скорость вращения равна . Найти кинетическую энергию стержня (составив самостоятельно соответствующий интеграл).

Необходимые физические формулы: , , где

кинетическая энергия, масса, длина, скорость, расстояние до оси вращения.

7. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.

; ; ; .

Вариант 7.

1. Вычислить, используя подведение под знак дифференциала: . Ответ проверить.

2. Составить и вычислить какую-нибудь интегральную сумму при для . Найти точное значение этого интеграла по формуле Ньютона - Лейбница. Определить в процентах отличие полученной интегральной суммы от точного значения.

3. Вычислить по формуле Ньютона - Лейбница , используя замену .

4. Найти площадь, ограниченную линиями (используя стандартную формулу).

5. Найти длину дуги участка линии при (используя стандартную формулу).

6. Найти силу, с которой заряд , равномерно распределённый вдоль стержня длины , действует на точечный заряд , расположенный в плоскости, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, если расстояние от точечного заряда до стержня равно (составив самостоятельно соответствующий интеграл).

Необходимые физические формулы: где

сила взаимодействия точечных зарядов и , находящихся на расстоянии друг от друга.