7. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.

; ; ; .

Вариант 2.

1. Вычислить, используя подведение под знак дифференциала: . Ответ проверить.

2. Составить и вычислить какую-нибудь интегральную сумму при для . Найти точное значение этого интеграла по формуле Ньютона - Лейбница. Определить в процентах отличие полученной интегральной суммы от точного значения.

3. Вычислить по формуле Ньютона - Лейбница , используя замену .

4. Найти площадь, ограниченную линиями при (используя стандартную формулу).

5. Найти объём, полученный вращением участка линии вокруг оси (используя стандартную формулу).

6. Пластина, имеющая форму круга радиуса , вертикально погружена в жидкость плотностью . При этом её центр находится на глубине . Найти силу давления жидкости на пластину (составив самостоятельно соответствующий интеграл).

Необходимые физические формулы: , где

сила давления, давление в жидкости, площадь, расстояние от поверхности, ускорение свободного падения.

7. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.

; ; ; .

Вариант 3.

1. Вычислить, используя подведение под знак дифференциала: . Ответ проверить.

2. Составить и вычислить какую-нибудь интегральную сумму при для . Найти точное значение этого интеграла по формуле Ньютона - Лейбница. Определить в процентах отличие полученной интегральной суммы от точного значения.

3. Вычислить по формуле Ньютона - Лейбница , используя замену .

4. Найти площадь, ограниченную линиями при (используя стандартную формулу).

5. Найти объём, полученный вращением участка линии вокруг оси (используя стандартную формулу).

6. Пластина, имеющая форму круга радиуса и поверхностную плотность , вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью . Найти кинетическую энергию пластины (составив самостоятельно соответствующий интеграл).

Необходимые физические формулы: , , где

кинетическая энергия, масса, площадь, скорость, расстояние до оси вращения.

7. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.

; ; ; .

Вариант 4.

1. Вычислить, используя подведение под знак дифференциала: . Ответ проверить.

2. Составить и вычислить какую-нибудь интегральную сумму при для . Найти точное значение этого интеграла по формуле Ньютона - Лейбница. Определить в процентах отличие полученной интегральной суммы от точного значения.

3. Вычислить по формуле Ньютона - Лейбница , используя замену .

4. Найти площадь, ограниченную линиями при (используя стандартную формулу).

5. Найти объём, полученный вращением участка линии вокруг оси (используя стандартную формулу).

6. Тонкое кольцо радиуса , имеющее линейную плотность , вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью . Найти кинетическую энергию кольца (составив самостоятельно соответствующий интеграл).

Необходимые физические формулы: , , где

кинетическая энергия, масса, длина, скорость, расстояние до оси вращения.