ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ, ОБРАЗЦЫ КОНТРОЛЬНЫХ И ПЕРВЫЙ ТР (две части)

Интегральное исчисление функций одной переменной.

1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. **Проверка ответа в неопределённом интеграле. **Табличные интегралы.

2. **Подведение под знак дифференциала. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

3. Интегральная сумма для определённого интеграла . Определение . Достаточное условие существования определённого интеграла.

4. *Геометрический смысл определённого интеграла, его свойства.

5. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.

6. **Формула Ньютона-Лейбница.

7. *Геометрические и механические приложения определенного интеграла (вычисление площади плоской фигуры и длины дуги линии в декартовых и полярных координатах; вычисление объёма тела вращения; вычисление пройденного пути при переменной скорости; вычисление кинетической энергии вращающегося тела и т.п.).

8. Приближенное вычисление определенных интегралов.

9. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами). *Определение. Необходимый признак сходимости.

10. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций по конечному промежутку). *Определение.

11. *Сходимость интеграла . Сходимость интеграла .

12. *Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов первого и второго рода

Образцы экзаменационных задач.

**Подведение под знак дифференциала.

; ; ; ; ;

; ; ; .

Интегрирование по частям.

; ; .

*Построение интегральных сумм, приближённое вычисление определённых интегралов.

Для составить какую-нибудь интегральную сумму при .

Вычислить приближённо по формуле трапеций и формуле Симпсона при .

Сравнить полученные результаты с точным значением интеграла.

Замена переменной в определённом интеграле.

( ); , ( ); , ( ) и т.п.

**Найти площадь, ограниченную линиями:

1. , . (Два варианта: или ); 2. .

**Найти длину дуги линии:

1. от до ; *2. от до .

Любая текстовая задача, сводящаяся к составлению и, может быть, последующему вычислению определённого интеграла. Например:

Найти кинетическую энергию круга массы и радиуса , вращающегося вокруг своего диаметра с угловой скоростью .

**Вычислить несобственный интеграл по определению или установить его расходимость.

; ; ; .

**Исследовать сходимость несобственных интегралов.

; ; ; ; ; .

Образец контрольной работы (5 примеров):

1. Вычислить .

2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , .

3. Определить, какие из данных интегралов являются несобственными и исследовать их сходимость.

; ; .

4. Объяснить, почему интеграл является несобственным и вычислить его, пользуясь определением несобственного интеграла.

5. Тонкая пластина, имеющая форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом , вращается вокруг оси, проходящей через её гипотенузу. Поверхностная плотность пластины равна . Угловая скорость вращения равна . Найти кинетическую энергию пластины (составив самостоятельно соответствующий интеграл).

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

1. *Пространство . Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные. Окрестность точки , окрестность бесконечно удалённой точки в .

2. *Функция нескольких переменных в . Предел и непрерывность функции. Линии и поверхности уровня для функций в и .

3. **Полное и частное приращение функции в точке. Частные производные. Определение.

4. Определение функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал. Определение, формула для вычисления. Инвариантность формы первого дифференциала.

5. **Оценка погрешности вычислений с использованием первого дифференциала. Максимальная и средняя погрешность. Абсолютная и относительная погрешность.

6. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

7. Дифференциалы высших порядков. Построение формул для вычисления с использованием формального оператора .

8. *Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

9. Сложная функция, определение. Производные сложных функций (на примерах).

10. Неявно заданные функции. Теоремы существования. **Дифференцирование неявных функций (на примерах).

11. **Экстремум функции нескольких переменных. Определение. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума.

12. *Условный экстремум. Постановка задачи. Метод множителей Лагранжа.

13. *Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке .

14. *Производная (производная по направлению функции ).,

Образцы экзаменационных задач.

**Найти , если .

Найти , если и .

Найти , если и .

Найти , если и .

**Найти если .

Найти если и .

**Найти абсолютную максимальную и среднюю погрешности и относительные погрешности (максимальную и среднюю) при вычислении , если ; .

**Найти , если .

**Найти экстремумы функции:

; ; .

*Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке.

; .

Найти экстремумы функции при условии .

Из всех прямоугольных треугольников заданной площади найти тот, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

Образец контрольной работы (5 примеров):

1. Найти , если

2. Найти экстремумы функции .

3. Найти условные экстремумы функции при .

4. Найти абсолютную максимальную и среднюю погрешности и относительные погрешности (максимальную и среднюю) при вычислении , если ; .

5. Найти , если .

(или найти , если и ,

или найти , если и ).

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля.

1. Мера множества. Интеграл по мере множества. Свойства интеграла по мере множества. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному.

2. Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, элемент площади поверхности в декартовых координатах и при параметрическом задании. Поверхностный интеграл первого рода, сведение его к двойному.

3. Тройной интеграл. Сведение к повторному. Криволинейный интеграл первого рода. Сведение криволинейного интеграла к определенному.

4. Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.

5. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

6. Скалярное и векторное поле. Поверхности и линии уровня. Линии тока. Производная по направлению. Градиент. Потенциальное векторное поле. Потенциал.

7. Криволинейный интеграл второго рода. Поверхностный интеграл второго рода. Поток. Циркуляция.

8. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его физический смысл. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Примеры:

**Расставить пределы интегрирования в интеграле , если область ограничена линиями: , , .

**Расставить пределы интегрирования в интеграле , если область ограничена поверхностями: , .

**Вычислить , если область ограничена линиями: , , .

**Вычислить поток вектора через часть поверхности : , , нормаль направлена вверх.

**Вычислить , где задана уравнением , от точки до точки . Вектор . Зависит ли интеграл от пути интегрирования?

**Найти координаты центра тяжести и момент инерции относительно начала координат однородной плоской области, ограниченной линиями: , .

**Найти координаты центра тяжести и момент инерции относительно оси однородной области, ограниченной поверхностями: , .

**Найти координаты центра тяжести однородной полукруглой пластины радиуса .

**Найти координаты центра тяжести однородной полуокружности радиуса .

**Найти массу дуги параболы от до , если плотность .

**Проверить потенциальность поля вектора , найти потенциал

Образец контрольной работы (5 примеров):