Вариант 4

1. Изменить порядок интегрирования

2. Найти массу пластины, ограниченной линиями ; , если - поверхностная плотность пластины в точке.

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

4. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного указанными поверхностями:

5. Вычислить массу контура прямоугольника ABCD, если линейная плотность в каждой его точке определяется выражением .

6. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности конуса , вырезанной цилиндром .

7. Найти производную скалярного поля в точке по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

8. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии L от точки M к точке N, где L - ломаная, соединяющая точки .

9. Найти поток векторного поля через часть поверхности , вырезанную плоскостью непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Остроградского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности).

10. Найти циркуляцию вектора по контуру с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат)..

11. Проверить потенциальность поля вектора , найти потенциал.

Вариант 5

1. Изменить порядок интегрирования .

2. Найти массу пластины, ограниченной линиями , если - поверхностная плотность пластины в точке.

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: (между параболоидами).

4. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного указанными поверхностями:

5. Вычислить длину дуги кривой от до .

6. Вычислить массу участка поверхности , ограниченного плоскостями , если плотность .

7. Найти производную скалярного поля в точке по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

8. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии L от точки M к точке N, где L - отрезок MN, соединяющий точки и .

9. Найти поток векторного поля через часть поверхности , вырезанную плоскостью непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Остроградского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности).

10. Найти циркуляцию вектора по контуру с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат)..

11. Проверить потенциальность поля вектора , найти потенциал.

Вариант 6

1. Изменить порядок интегрирования

.

2. Найти массу пластины, ограниченной линиями ; , если - поверхностная плотность пластины в точке.

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: (внутри параболоида).

4. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного указанными поверхностями: .

5. Вычислить массу участка линии , если линейная плотность в каждой точке равна ее расстоянию до начала координат.

6. Вычислить момент инерции относительно оси OZ однородной сферической оболочки

7. Найти производную скалярного поля в точке по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

8. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии L от точки M к точке N, где L - ломаная, соединяющая точки .

9. Найти поток векторного поля через часть поверхности , вырезанную плоскостями , непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Остроградского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности).

10. Найти циркуляцию вектора по контуру с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

11. Проверить потенциальность поля вектора , найти потенциал.