2.2.3. Побудова математичної моделі надійності обслуговування системи підприємства

Постановка завдання. На конвеєрі підприємства випускають певні деталі, що проходять перевірку за допомогою пристрою, який у свою чергу контролює якість випущеної продукції та відсортовує їх на «браковані» та «якісні». Провести аналіз та розрахунок надійності обслуговування системи контролю якості продукції підприємства. Охарактеризувати процес і знайти ймовірності стану пристрою у момент часу , якщо у початковий момент система знаходилась у справному стані.

Методом дослідження є моделювання системи контролю якості за допомогою теорії марковських випадкових процесів.

Розв’язання. Для вивчення надійності системи контролю якості продукції, яку приймемо за , розглянемо наступні стани:  система справна,  система справна і проводить перевірку якості продукції,  система на профілактичному ремонті,  система несправна і не підлягає відновленню.

Було припущено, що система може вийти з ладу тільки під час перевірки якості продукції, а також, що ремонт несправної системи передбачається лише тоді, якщо поломка не є серйозною. Також вважалося, що зміни щільності ймовірностей переходів системи зі стану в стан настільки малі, що ними можна знехтувати, тобто щільність ймовірностей переходів практично не залежить від часу. Граф стану системи контролю якості продукції представлено на рисунку 2.5.

Оскільки система може міняти свої стани випадковим чином у випадкові моменти часу, а в кожен момент вона перебуває в одному зі станів , то процес, що протікає у системі , буде дискретним випадковим процесом з неперервним часом.

Рисунок 2.5. – Розмічений граф станів системи

Даний процес можна вважати марковським, оскільки стан системи у майбутньому істотно залежить від його стану зараз і неістотно – від його станів у минулому. Незначні коливання щільності ймовірностей з часом дозволяють зробити припущення про однорідність даного процесу .

Матриця щільності ймовірностей переходів, складена за графом, має вигляд:

(2.21)

Щоб знайти ймовірність станів для довільного . складено систему диференціальних рівнянь Колмогорова.

(2.22)

Розглянемо три перші рівняння системи. Вони не містять функції , тому їх можна розглядати як систему трьох рівнянь з трьома змінними:

(2.23)

Пошук частинного розв’язку системи (2.23) здійснювали за допомогою показникових функцій (2.24)

(2.24)

де – постійні, які потрібно підібрати таким чином, щоб рівняння (2.23) задовольняли (2.24).

Підставимо частинні розв’язки та в систему (2.23).

(2.25)

Продиференціюємо та поділимо обидва рівняння на .

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

Отримана однорідна лінійна система алгебраїчних рівнянь з невідомими та параметром, завжди має нульовий розв’язок , але він не задовольняє умові задачі, оскільки а за початковими умовами .

Ненульовий розв’язок існує тоді і тільки тоді, коли визначник системи дорівнює нулю:

(2.30)

Розкривши визначник, отримаємо кубічне рівняння відносно .

(2.31)

За формулою Кардано знаходимо наступні значення: a=1, b=721, c=66900, d=37100. Приведемо рівняння до канонічного виду. Робимо заміну змінних, від змінної переходимо до змінної через рівність: 

Отримано нове рівняння для змінної :

,

де:  , , .

Знаходимо ще одну змінну :

Число дійсних корнів кубічного рівняння залежать від знака :

якщо – маємо один дійсний корінь і два спряженнях комплексних кореня;

якщо – маємо три дійсний кореня;

якщо – маємо один однократний дійсний корінь і два двократних комплексних кореня, або, якщо p = q = 0, то маємо один трикратний дійсний корінь.

За формулою Кардано корені кубічного рівняння в канонічній формі дорівнюють:

; ; ,

де: , .

Застосовуючи дані формули, для одного з трьох значень необхідно взяти таке , для якого виконується умова (таке значення завжди існує). Розглянемо всі можливі значення і (кубічний корінь завжди дає три значення):

, , ;

, , .

Отже, беремо перше значення і підбираємо для нього . У результаті перебору приходимо до пари і Записуємо всі три корені відразу для змінної :

Підставимо в (2.29) значення .

(2.32)

(2.33)

Таким чином отримали співвідношення, яке пов’язує .Оскільки – вільна невідома, то їй можна надати будь-яке числове значення, крім 0. Нехай =1, тоді =49,8408928161798 , = -50,9241377305059. Підставимо ці значення у (2.24), отримаємо:

(2.34)

Аналогічно обчислюємо для . Підставимо значення у (2.29).

(2.35)

Нехай = 1, тоді = 6,61802611206898, = 4,24412699665621 підставимо значення у (2.24)

(2.36)

Аналогічно обчислюємо для . Підставимо значення у (2.29).

(2.37)

Нехай =1, =5,26620794711654, = -6,21776227126845 (підставимо значення у (2.24).

(2.38)

З (2.34), (2.36) та (2.38) складаємо загальний розв’язок системи (2.22).

(2.39)

де – довільні константи.

(2.40)

(2.41)

Щоб знайти частинний розв’язок системи (2.22), що задовольняє умовам , потрібно знайти відповідні значення .

Підставляємо в (2.41) ці значення і отримаємо шуканий частинний розв’язок, що задовольняє початковим умовам:

(2.42)

Для знаходження скористаємося умовою нормування

.

Можна переконатися, що знайдені функції є імовірнісними, тобто . Підрахуємо ймовірність станів системи у момент часу , тобто .

(2.43)

Висновок. Отже, ймовірність того, що у момент часу система справна, але не експлуатується, дорівнює 0,048; справна і проводить перевірку якості продукції –0,319; на профілактичному ремонті – з 0,204; не справна – 0,428.

На підставі проведених розрахунків зроблено висновок, що система з імовірністю майже 0,05 не експлуатується, а отже, вона використовується ефективно. Також з ймовірністю майже 0,43 вона може повністю вийти з ладу, що є досить високим показником. Тому потрібно знаходити способи зниження імовірності виходу системи з ладу, а також підвищення показника її завантаженості.