2.3.3. Застосування системи масового обслуговування для моделювання процесу роботи техніка

На основі застосування теорії масового обслуговування розробити модель управління виробничою системою.

Постановка задачі: Технік ТОВ „Завод Укрбудмаш” налагоджує прилади на поточній лінії, витрачаючи у середньому 1 годину на настроювання одного приладу, які поступають із середньою інтенсивністю 1 прилад за 2,5 години. На робочому місці техніка є чотири відсіки для приладів, що чекають настроювання. Якщо усі відсіки зайняти, то наступний прилад поступає іншому техніку.

При вирішенні задачі необхідно визначити:

1. Імовірність того, що наступний прилад одразу без очікування буде обслужена майстром;

2. Імовірність того, що настроювання будуть чекати хоча б 2, 3 прилади;

3. Середній час перебування приладу в черзі;

4. Імовірність того, що прилад перейде до іншого техніка;

5. Накреслити граф станів. Охарактеризувати роботу техніків.

Розв’язок задачі:

Розглядаємо систему яка має п’ять станів. Дана система – одноканальна система масового обслуговування з обмеженою чергою (рис. 2.7).

Рисунок 2.7 – Одноканальна система масового обслуговування з обмеженою чергою

Отже, на систему, що знаходиться в стані Sі, діє найпростіший потік подій. Як тільки з’являється перша подія цього потоку, відбувається перехід системи із стану Sі у стан Sj/(на графі станів за стрілкою Sі → Sj).

Потік заявок послідовно переводить систему з будь-якого лівого стану в сусідній правий з однією і тією ж інтенсивністю . Інтенсивність потоку обслуговування, що переводить систему з будь якого правого стану в сусідній лівий стан дорівнює . Можливі стани системи:

– канал вільний;

– канал зайнятий, черги немає;

– канал зайнятий, у черзі одна заявка;

– канал зайнятий, у черзі дві заявки;

– канал зайнятий, у черзі три заявки;

– канал зайнятий, у черзі чотири заявки.

Очевидно, що для будь якого моменту сума часу всіх ймовірностей станів дорівнює 1. Для того щоб знайти всі ймовірності станів, необхідно скласти систему диференційних рівнянь Колмогорова. Для граничних імовірностей станів даної системи вона має наступний вигляд:

(2.58)

(2.59)

Приймемо що . Тоді система рівнянь прийме наступний вигляд:

(2.60)

(2.61)

(2.62)

(2.63)

Реалізовуємо побудовану математичну модель за допомогою табличного процесора Microsoft Excel.

Для цього створюємо таблицю, яку заповнюємо відповідними даними та розрахунковими значеннями середнього числа заявок, які надійшли за годину, середнього числа налагоджених радіоапаратів за годину та середнього часу обслуговування.

Відповідні формули та значення зображені на рисунку 2.8.

Рисунок 2.8 – Розрахунок середніх значень одно канальної СМО з обмеженою чергою в ТП Microsoft Excel

Знайдемо значення показника р (імовірність того, що чергова заявка буде обслужена техніком) та значення ймовірностей знаходження системи в і-му стані. Відповідні та отримані значення зображені на рисунку 2.9.

Рисунок 2.9 – Розрахунок ймовірностей знаходження СМО з обмеженою чергою в і-му стані за допомогою ТП Microsoft Excel

Знаходимо імовірність того що хоча б 2, 3 прилади будуть знаходитись в черзі, а також імовірність того, що заявка перейде до іншого техніка (рис.2.10).

Рисунок 2.10 – Розрахунок ймовірностей очікування та відмови

Розраховуємо середній час перебування прилада в черзі. Для зручності будемо вести розрахунки в табличному вигляді. Результати представлені на рисунку 2.11.

Рисунок 2.11. – Розрахунок середній час перебування прилада в черзі за допомогою ТП Microsoft Excel

Висновок: розглянувши даний виробничий процес, можна стверджувати, що технік працює з високою ефективністю. Про це говорять отримані величини:

– замовлення перейде до іншого техніка, ймовірність цього становить 0,62% ;

– заявка, що надійшла, буде обслужена без черги, ймовірність цього становить 62,25%.

– середній час перебування приладу в черзі дорівнює близько 37 хвилин.