Метод Горнера

Анализ многочлена в общем случае приводит к тому, что для исключения возведения х в степень в каждом слагаемом полином целесообразно переписать в виде:

p(a₀p^n–1+a₁p^n–2+a₂p^n–3+…+a_n–1)+a_n,

в следующей итерации он принимает вид:

p(p(a₀p^n–2+a₁p^n–3+a₂p^n–4+…+a_n–2)+a_n–1)+a_n.

Прием, с помощью которого полином представляется в таком виде, называется схемой Горнера. Этот метод требует п умножений и п сложений. Использование схемы Горнера для вычисления значений полиномов не только экономит машинное время, но и повышает точность вычислений за счет уменьшения погрешностей округления.

1) вычисление значения полинома последовательным перемножением:

n n–1 n–2

2) вычисление методом Горнера

3) вычисление значения полинома возведением в степень оператором «^»

4) вычисления значения полинома возведением в степень с использованием формулы

Задание

Написать программу нахождения значения полинома n–ой степени четырьмя методами, в качестве значения p задавать дробные.

Контрольные вопросы

Лабораторная работа №5 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ ПРИВЕДЕНИЕМ К ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ

Цель работы: написать программу для нахождения определителя матрицы размерностью n×n

Теоретические основы

Среди задач линейной алгебры существуют такие задачи как вычисление определителей нахождение обратных матриц, собственных значений матрицы и др. Легко вычисляются лишь определители невысоких порядков и некоторые специальные типы определителей.

В частности, для определителей второго и третьего порядков соответственно имеем:

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов, расположенных на главной диагонали: . Треугольной называется матрица, у которой все элементы находящиеся ниже главной диагонали имеют нулевое значение.

Отсюда также следует, что определитель единичной матрицы равен единице, а нулевой – нулю: .

В общем случае вычисление определителя оказывается значительно более трудоемким. Определитель D порядка п имеет вид:

Из этого выражения следует, что определитель равен сумме п! слагаемых, каждое из которых является произведением п элементов. Поэтому для вычисления определителя порядка п (без использования специальных приемов) требуется умножений и сложений, т. е. общее число арифметических операций равно

Оценим значения N в зависимости от порядка п определителя:

п	3	10	20
N	17	3.6 107	5 1019

Итак, непосредственное нахождение определителя требует большого объема вычислений. Вместе с тем легко вычисляется определитель треугольной матрицы: он равен произведению ее диагональных элементов.

Для приведения матрицы к треугольному виду может быть использован метод исключения, т. е. прямой ход метода Гаусса. В процессе исключения элементов величина определителя не меняется. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке его столбцов или строк. Следовательно, значение определителя после приведения матрицы А к треугольному виду вычисляется по формуле:

Здесь диагональные элементы берутся из преобразованной (а не исходной) матрицы. Знак зависит от того, четной или нечетной была суммарная перестановка строк (или столбцов) матрицы при ее приведении к треугольному виду (для получения ненулевого или максимального по модулю ведущего элемента на каждом этапе исключения). Благодаря методу исключения можно вычислять определители больших порядков, при значительно меньшем объеме вычислений, чем в проведенных ранее оценках.

Приведение к треугольному виду достигается последовательным исключением элементов в нижних строках матрицы. Сначала с помощью первой строки исключается первый элемент всех строк. Затем с помощью второй строки исключается второй элемент третьей и всех последующих строк. Этот процесс, продолжается до тех пор, пока в последней (п–ой) строке не останется лишь один элемент.

1–ый шаг:

n–ый шаг

Задание

Написать программу для нахождения определителя матрицы размерностью n×n.

Контрольные вопросы

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Цель работы: Написать программу для решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Теоретические основы

Метод Гаусса основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса. Однако к такому виду приводится лишь невырожденная матрица. В противном случае метод Гаусса неприменим.

Приведение матрицы к треугольному виду описано в лабораторной работе №5.

Для исключения x₁ из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на

Тогда элементы модифицированной строки матрицы принимают значения:

После всех преобразований матрица, описывающая систему уравнений примет вид:

Вычисление переменных x_i производится по следующей схеме: вычислив x_n

подставляем его значение в предыдущее уравнение и определяем x_n–1

Подстановкой вновь вычисленных переменных в предыдущие уравнения находим все значения переменных.