8. 2. Мода и медиана

Как уже отмечалось выше, помимо среднеарифметической величины, средний уровень характеризуют также мода и медиана. Обе эти величины дают известное представление о совокупности в целом.

Модой (Мо) называется наиболее часто встречающаяся величина, а модальным классом вариационного ряда называется такой класс, на который приходится наибольшее число случаев.

Медианой (Me) называется такое значение признака, которое делит всю группу (данную совокупность) на две равные части (50 % группы имеет значение признака меньшее, чем медиана, 50 % – большее) и представляет собой центральную величину.

Для вариационного ряда, имеющего большое число классов, медиану вычисляют по формуле:

где lo – начальное значение классового интервала, в котором находится медиана;

i – величина классового интервала;

п / 2 – 50 % общего числа случаев;

n_o – сумма частот от начала ряда до начала класса, в котором находится медиана;

п_l – число случаев в классе, где находится медиана.

В процессе исследования, а именно на стадии обработки результатов, данные характеристики используются для получения картины в целом.

8. 3. Статистические показатели вариабельности

Среднеарифметическая величина отражает средний уровень признака в данной совокупности Но она недостаточна для ее характеристики, так как главной особенностью любой совокупности является наличие вариабельности признаков.

Лучшей оценкой, характеризующей степень изменчивости признака в выборке, считается среднее квадратическое отклонение значений признака от среднеарифметической величины, т. к. его величина не зависит от численности выборки. Кроме того, в отличие от других рассмотренных показателей вариабельности среднеквадратическое отклонение учитывает как число вариантов признака (размах изменчивости), так и частоту, с которой встречаются различные значения признака. Чем больше размах изменчивости признака, тем больше его среднеквадратическое отклонение [5, с. 179–180].

Общая формула для расчета среднеквадратического отклонения имеет вид:

где – сумма квадратов отклонений всех значений признака oт среднеарифметической величины в данной выборке;

n – общая численность выборки.

Квадратный корень берут с положительным знаком. Подкоренное выражение называется дисперсией, или рассеянием признака.

8. 4. Достоверность различий выборочных распределений частот антропометрических признаков. Асимметрия и эксцесс

Ни одно эмпирическое распределение антропометрических признаков, как правило, не имеет точного совпадения с теоретической кривой нормального распределения. Наиболее распространенным критерием соответствия является «критерий хи-квадрат» χ². Функция χ² представляет собой сумму квадратов отклонений эмпирических численностей от теоретических, поделенных на теоретическую численность:

где – эмпирические и – теоретические частоты в каждом i-том классе значений признака.

Различие между эмпирическим и теоретическим распределением считается достоверным, если полученный критерий χ² больше табличного с вероятностью 0,99.

Величина погрешности, превышающая 5 %, считается значимой. Погрешность, возникающая из-за несоответствия эмпирических и теоретических кривых распределения, является следствием наличия в эмпирическом распределении асимметрии и эксцесса. Как уже отмечалось, теоретическая кривая нормального распределения симметрична и среднеарифметическая величина совпадает с модой и медианой. В то же время любая эмпирическая кривая обнаруживает большую или меньшую асимметрию и, как правило, среднеарифметическая величина, мода и медиана не совпадают друг с другом. Асимметричные кривые показаны на рис. 27.

а б

Рис. 27. Асимметрические кривые (схема):

а – положительная асимметрия; б – отрицательная асимметрия

При асимметричном распределении одна половина кривой распределения имеет увеличенные частоты в левой или правой части. Среднеарифметическая величина в таком pacпределении перемещается в ту сторону кривой, где находится большая численность. Условно принимают асимметрию положительной при увеличении правой половины кривой и отрицательной, если увеличена левая половина кривой. При положительной (рис. 27а) средняя величина находится вправо от наиболее часто встречающегося значения признака – мода, т. е. M > Мо, при отрицательной – влево от нее (рис. 27б), т. е. М < Мо. Следует отметить, что у антропометрических признаков наблюдается преимущественно правосторонняя (положительная) асимметрия.

Помимо асимметрии, у некоторых кривых можно подметить еще одну особенность – наличие высоко- или плосковершинности и или эксцессивности (эксцесс от лат. – выход). Эксцессивные кривые изображены на рис. 28. Высоковершинность характеризуется значительным увеличением численностей в классе, где находится среднеарифметическая величина, и уменьшением в классах с крайними значениями признака. В этом случае кривая распределения 1 имеет вид острой пирамиды с расширенным основанием. Вершина кривой, как видно из рисунка, в этом случае лежит выше вершины нормальной кривой 2. Такой эксцесс принято считать положительным. В случае, если вершина кривой распределения 3 лежит ниже вершины нормальной кривой, эксцесс отрицательный.