Решение

Первый этап (прямой ход)

1. Максимальный по модулю элемент содержится в первом уравнении, поэтому перестановка уравнений не нужна.

2. Исключаем неизвестное из второго и третьего уравнений, используя множители

и .

В результате получаем систему

3. Среди коэффициентов при неизвестных во втором и третьем уравнениях максимальным по модулю является коэффициент .

4. Переставляя местами второе и третье уравнения и исключая неизвестное (соответствующий множитель ), приходим к системе

_.

Второй этап (обратный ход)

5. Из последнего уравнения находим:

.

Далее, имеем:

,

.

Округляя найденные значения до пяти цифр после десятичной точки, получим ответ:

, , .



1.2 Итерационные методы Метод простой итерации

Приведем систему (2.1) к виду

(2.3)

Система (2.3) может быть записана в матричном виде

. (2.4)

Здесь - квадратная матрица с элементами , - вектор-столбец неизвестных , - вектор-столбец с элементами .

Это приведение можно осуществить различными способами.

Самым простым является нахождение из первого уравнения системы, - из второго, и т.д. В результате получим систему, в которой на главной диагонали матрицы находятся нулевые элементы. Остальные элементы вычисляются по формулам

, .

При таком определении матриц и системы (2.4) метод простой итерации называется методом Якоби.

Сущность итерационных методов следующая.

Первый шаг

• Выбираем начальное приближение , подставляем его в правую часть системы (2.4), находя таким образом первое приближение решения системы .

Второй шаг

• Подставляем в правую часть системы первое приближение и находим второе приближение решения .

• Продолжаем процесс таким образом далее и находим последовательность приближений решения системы .

При выполнении условия для нормы матрицы решение системы существует и единственно, при произвольном начальном приближении последовательность сходится к решению системы и справедлива оценка погрешности

. (2.5)

Для выполнения условия достаточно выполнения хотя бы одного из условий для элементов матрицы :

, (2.6)

, (2.7)

. (2.8)

Замечание.

Величина называется нормой матрицы , подчиненной норме вектора .

Нормы (2.6)-(2.8) подчинены соответственно следующим нормам вектора:

_(2.9)

_(2.10)

_(2.11)



Для обеспечения условий сходимости нужно получить систему вида (2.3) так, чтобы коэффициенты при неизвестных в правой части системы были существенно меньше единицы.

В некоторых случаях этого можно достигнуть, если исходную систему с помощью равносильных преобразований привести к системе, у которой абсолютные величины коэффициентов, стоящих на главной диагонали, больше абсолютных величин каждого из других коэффициентов при неизвестных в соответствующих уравнениях (такую систему называют системой с преобладающими диагональными коэффициентами). Тогда при приведении системы (2.1) к виду (2.3) указанным выше способом все .

Из оценки (2.5) следует, что при выполнении условия метод простой итерации сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой . Оценка (2.5) является априорной. Ее использование для формулировки критерия окончания итераций затруднительно, так как значение неизвестно, а его грубое оценивание заведомо приведет к завышению необходимого числа итераций.

Можно доказать справедливость апостериорной оценки погрешности при выполнении условия :

. (2.12)

Таким образом, если требуется найти решение с точностью , то в качестве критерия окончания итерационного процесса может быть использовано неравенство

. (2.13)

Пример №3. Решить систему методом простой итерации с точностью =10^-4.