Решение

1. Оценим величины погрешностей результатов, получаемых по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, по формулам (5.11), (5.17) и (5.22) соответственно (здесь ).

Для этого вычислим производные подынтегральной функции до четвертого порядка включительно и максимальные абсолютные значения производных второго и четвертого порядков на отрезке :

Получаем следующие оценки величин погрешности результатов:

• При :

• При :

2. Найдем приближенное значение интеграла.

При :

• Квадратурная формула прямоугольников принимает вид

В нашем случае имеем:

Итого, по квадратурной формуле прямоугольников получаем:

• Квадратурная формула трапеций при (и ) принимает вид

В нашем случае имеем:

Итого, по квадратурной формуле трапеций получаем:

• Квадратурная формула Симпсона при (и ) принимает вид

Однако, учитывая уже вычисленные значения интеграла по формуле прямоугольников и формуле трапеций, для вычисления интеграла в данном случае проще воспользоваться формулой (5.23):

В нашем получаем:

Итого, по квадратурной формуле Симпсона:

При все вычисления осуществляются аналогично случаю .

3. Результаты вычислений по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона для и представим в таблице (здесь - значение интеграла; - погрешность):

Квадратурная формула
прямоугольников
трапеций
Симпсона



_{Замечание.}

Практически вычисления по той или иной квадратурной формуле осуществляются до достижения заданной точности.

Этой цели удовлетворяет метод двойного пересчета, согласно которому для оценки погрешности вычислений значение интеграла вычисляется два раза – с шагом (значение ) и с шагом (значение ).

Чтобы оценить отклонение значения от точного значения интеграла , используется правило Рунге:

Для формул прямоугольников и трапеций :

Для формулы Симпсона :

При заданной точности вычисления проводят до выполнения условия

.

При этом полагают, с точностью :

.

_

1.3. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.

Данный метод является обобщением рассмотренных выше (в п. 1.2) методов прямоугольников, трапеций и Симпсона, построен на аналогичных принципах и предполагает замену подынтегральной функции параболой порядка (а не второго, как в методе Симпсона).

Расчетная формула для одного участка разбиения отрезка (т.е. при ) имеет следующий вид:

где коэффициенты Ньютона – Котеса, число использующихся ординат на участке (начиная с 0), которые применяются для аппроксимации подынтегральной функции. Так, для замены параболой третьей степени нужно четыре точки, а четвертой  пять точек.

Коэффициенты Ньютона – Котеса не зависят от функции и однозначно определяются для заданного числа .

Например,

• для : ;

• для : ;

• для : ;

• для : ;

• для : .

Все предыдущие квадратурные формулы являются частными случаями формулы Ньютона – Котеса.

Например, при получаем формулу трапеций (для одного участка), при  формулу Симпсона. Отметим, что при больших значениях алгоритм является неустойчивым, поэтому не следует брать .

Замечание

При разбиении промежутка на участков формулу Ньютона – Котеса нужно применять для каждого участка, а результаты сложить.

Приведем квадратурные формулы для k = 3 и k = 4.

k = 3 – правило 3/8:

; (5.32)

k = 4 – формула Милна (формула Боде):

.

(5.33)

_{Используя формулу Тейлора, можно получить следующие оценки погрешности формул (5.32) и (5.33) (см. формулу (5.3)):}

_