Решение

1. Прямой ход метода начинаем с вычисления множителей

µ₂₁=a₂₁/a₁₁=5/10=0,5,

µ₃₁=a₃₁/a₁₁=3/10=0,3,

µ₄₁=a₄₁/a₁₁=0/10=0 .

2. Вычитая из второго, третьего и четвертого уравнений системы первое, умноженное соответственно на µ₂₁, µ₃₁, µ₄₁, получим систему

3. На втором шаге вычисляем множители

µ₃₂=a₃₂/a₂₂=3,2/(-2)=-1,6, µ₄₂=6/(-2)=-3 .

4. Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы первое, умноженное соответственно на µ₃₂ и µ₄₂, приходим к системе

5. Далее, вычисляем

µ₄₃=(-11)/(-4,4)=2,5

и, вычитая из четвертого уравнения системы третье, умноженное на µ₄₃ , получаем систему

6. Обратный ход начинаем с вычисления из последнего уравнения системы:

.

Подставляя найденное значение в третье уравнение, найдем из него :

Далее из второго уравнения находим :

И, наконец, из первого уравнения определяем :

7. Итого, полученное решение системы имеет вид:

Результаты вычислений можно свести в таблицу

Наименование	ai1	ai2	ai3	ai4	bi	µi1, xi
Исходная система	10 5 3 0	6 1 5 6	2 -2 1 -2	0 4 -1 2	25 14 10 8
1-й шаг прямого хода	10 0 0 0	6 -2 3,2 6	2 -3 0,4 -2	0 4 -1 2	25 1,5 2,5 8	0,5 0,3 0
2-й шаг прямого хода	10 0 0 0	6 -2 0 0	2 -3 -4,4 -11	0 4 5,4 14	25 15 4,9 7,5	-1,6 -3
3-й шаг прямого хода и обратный ход	10 0 0 0	6 -2 0 0	2 -3 -4,4 0	0 4 5,4 0,5	25 15 4,9 0,25	2 1 -0,5 0,5



Замечание

Как видим, в схеме единственного деления вычисление множителей прямого хода предполагает деление на главные элементы . Если главный элемент окажется равным нулю, схема единственного деления не может быть реализована.

Кроме того, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности вследствие большой величины множителя µ.

Эти факторы обусловливают необходимость выбора главных элементов. Используются следующие способы выбора главных элементов: схема частичного выбора (метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу) и схема полного выбора (метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице).

Схема частичного выбора главных элементов.

Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k–ом шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент при неизвестной в уравнениях с номерами Затем, соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером меняют местами с k-ым уравнением системы. Таким образом, главный элемент займет место коэффициента , что гарантирует выполнение неравенства для всех После этой перестановки исключение неизвестного производят, как в схеме единственного деления.

Схема полного выбора главных элементов.

На первом шаге метода среди элементов определяют максимальный по модулю элемент . Первое уравнение системы и уравнение с номером меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного из всех уравнений системы, кроме первого.

На k-ом шаге метода среди коэффициентов при неизвестных в уравнениях системы с номерами выбирают максимальный по модулю коэффициент . Затем k-ое уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное из уравнений с номерами .

На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: , ,…, .

Пример №2. Решить систему методом Гаусса по схеме полного выбора