Решение

1. Корни данного уравнения локализованы на отрезках [-3;-2], [-1;0], [0;1].

2. На отрезке преобразуем уравнение к виду

.

Максимальное значение производной функции на отрезке равно :

,

а значит,

,

и итерационный процесс будет сходящимся.

3. На отрезках [0;1] и [-1;0] производная функции неограниченна, и указанное преобразование уравнения (1.1) не подходит.

На отрезках [0;1] и [-1;0] приемлемы следующие преобразования исходного уравнения к виду (1.4):

на [-1;0] и на [0;1] .



Одним из способов приведения уравнения (1.1) к виду , допускающему решение его методом простой итерации, является его преобразование в форме

(1.7)

где m — отличная от нуля константа.

В этом случае

.

Дифференцируя, получим .

Далее подбираем m так, чтобы выполнялось условие

на всем промежутке изменения переменной .

Из последнего неравенства получаем:

.

Если для всех x и , то .

Если и , то .

Значение q, входящее в (1.5) , определяется из условия

.

Так, если принять , то для ; если , то для .

Пример №4. Привести уравнение

к итерационному виду (1.4).

Решение

1. Корень данного уравнения принадлежит отрезку [1;1,5] (см. пример 1).

2. Можно преобразовать уравнение к виду .

Однако расчеты показывают, что значения производной функции на отрезке [1;1,5] по абсолютной величине больше двух:

,

и, следовательно, итерационный процесс не будет сходящимся.

3. Преобразуем данное уравнение к виду

.

В этом случае

и

.

4. Подберем m так, чтобы значение производной по абсолютной величине было меньше единицы.

Так как производная отрицательна и ее наименьшее значение на правом конце отрезка

,

то можно принять

и рассматривать уравнение

,

пригодное для решения методом простой итерации.



Метод касательных (метод Ньютона)

Рис. №6 иллюстрирует сущность метода Ньютона.

1. Пусть - первое приближение корня уравнения (1.1): .

Проведем в точке

(( , )

касательную к кривой

.

2. За второе приближение корня примем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.

3. Аналогично получим следующее приближение корня, используя касательную к кривой, проведенную в точке ( , ).

4. В результате получим последовательной точек , ,…, ,… для которых справедливо следующее утверждение.

Пусть - простой корень уравнения , в некоторой окрестности которого функция дважды непрерывно дифференцируема.

Тогда найдется такая малая -окрестность корня , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона

, ,…, ,…

не выходит за пределы этой -окрестности корня, и справедлива оценка

. (1.8)

Таким образом, при выборе начального приближения из достаточно малой окрестности корня метод Ньютона сходится квадратично.

Это означает, что на каждой итерации число верных цифр приближения примерно удваивается.

Так как уравнение касательной к кривой в точке ( , ) имеет вид

,

то, полагая в нем , получим расчетную формулу метода Ньютона (если ):

. (1.9)

Используя (1.9), можно получить оценку погрешности метода Ньютона. На практике обычно используется следующая простая оценка:

. ( 1.10)