Решение

1. Определяем, что корни уравнения могут принадлежать отрезку [-10;10] .

2. Составляем программу отделения корней по следующему алгоритму (см. схему на рис.3) на одном из алгоритмических языков.

Пример программы отделения корней на языке QBasic приведен в Приложении (смотри Приложение 2, программа №1).

3. В результате расчетов по указанной программе на отрезке [-10;10] с шагом получаем следующие отрезки локализации корней:

, , , ,



1.2 Нахождение корней уравнения

Метод бисекции (половинного деления)

Пусть — отрезок локализации корня уравнения (1.1). Непрерывная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков (рис.4).

За первое приближение корня уравнения принимаем .

За второе — — середину того из отрезков или , на концах которого функция принимает значения различных знаков.

Аналогично определяем последующие приближения корня уравнения. Очевидно, что с каждым шагом будем получать все более точное значение корня уравнения.

Так как точное положение корня на отрезке неизвестно, то можно лишь утверждать, что погрешность первого приближения составляет не более половины отрезка : .

Тогда оценка погрешности n-ого приближения имеет вид

. (1.3)

Достоинством метода бисекции является его универсальность: он применим для любой непрерывной функции ; недостатком — медленная сходимость.

Число итераций , необходимых для обеспечения заданной точности , можно определить из неравенства

.

Решая его относительно n , получаем

.

Так, если и , получаем:

.

Как видим, для достижения точности в пятом десятичном знаке требуется 17 итераций.

В некоторых случаях такую же точность другим методом решения можно обеспечить за 2-3 итерации.

Пример программы вычисления корня уравнения методом бисекции на языке QBasic приведен в Приложении (смотри Приложение 2, программа №2).

Метод простой итерации

Метод простой итерации не является настолько же универсальным, как и метод бисекции, и требует выполнения определенных условий для функции.

При его использовании необходимо преобразовать уравнение (1.1) к виду

. (1.4)

Пусть — первое приближение искомого корня уравнения. Второе приближение находим из равенства . Каждое последующее приближение решения уравнения находим аналогично:

.

Если производная функции удовлетворяет условию

(1.5)

в некоторой окрестности корня , то, независимо от значения первого приближения из указанной окрестности, последовательность сходится к решению уравнения .

Условие (1.5) является достаточным для сходимости метода простой итерации, но не является необходимым.

Геометрическая иллюстрация метода приведена на рис.5.

Рис 5. На рис. а) и б) метод простой итерации сходится ( );

на рис. в) и г)  расходится ( ).

Для оценки погрешности метода простой итерации используют следующую формулу:

.

Отсюда следует, что для достижения заданной точности

критерием окончания итерационного процесса может служить условие

(1.6)

Уравнение (1.1) может быть приведено к виду (1.4) различными способами, но важно преобразовать его так, чтобы обеспечить сходимость итерационного процесса.

Пример №3.

Привести уравнение

к виду (1.4) для нахождения корней методом простой итерации.