Решение

1. Выполним интерполяцию таблично заданной функции с применением формулы интерполяции Лагранжа

есть многочлен n-ой степени, такой, что

Таким образом, степень многочлена равна n и при в сумме (2) обращаются в ноль все слагаемые, кроме слагаемого с номером i=j, равного .

Зададим два вектора узловых точек xi и yi , которые определяются табл.1 :

Зададим ранжированные (т.е. в виде диапазона значений) переменные i и j :

Теперь запишем общую формулу (1) интерполяции Лагранжа, обозначив P_n(x)- значение полинома Лагранжа для любого заданного значения x:

Для проверки вычислим значения полученного полинома Лагранжа P_n(x) в нескольких табличных значениях аргумента x :

Как видим, полученные значения совпадают с заданными табличными значениями интерполируемой функции.

2. Вычислим с помощью построенного интерполяционного многочлена Лагранжа P_n(x) значения функции в точках x1=1.3 и x2=7.8 :

3. Построим график полученного интерполяционного полинома.

Для этого введем следующие ранжированные переменные:



Пример №2.

Лабораторная работа №6 «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений».

Задание.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

на равномерной сетке отрезка при заданном начальном условии , с шагом и с шагом , двумя методами: методом Эйлера и классическим методом Рунге – Кутта.

Оценить погрешность численного решения по правилу Рунге.

Решение

1. Найдем решение задачи Коши методом Эйлера.

Определим функцию - правую часть уравнения:

Обозначим: xi - столбец значений x в узлах сетки;

yi - столбец значений y решения задачи Коши в узлах сетки.

Запишем вычислительный блок алгоритма метода Эйлера:

Вычисления на сетке с шагом h=0,1

Результаты вычислений:

Сохраним результаты вычислений в векторах x_Euler1 и y_Euler1 соответственно:

Вычисления на сетке с шагом h=0,05

Результаты вычислений:

Сохраним результаты вычислений в векторах x_Euler2 и y_Euler2 соответственно:

Оценим погрешность результата:

_{- погрешность метода}

2. Найдем решение задачи Коши классическим методом Рунге - Кутта.

Для этого воспользуемся стандартной процедурой rkfixed(y,a,b,n,f).

Сохраним результаты вычислений в векторах y1_Runge и y2_Runge на сетке с шагом h=0,1 и h=0,05 соответственно:

Вычисления на сетке с шагом h=0,1

Результаты вычислений:

Вычисления на сетке с шагом h=0,05

Результаты вычислений:

Оценим погрешность результата:

_{- погрешность метода}



ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Использование заданий к лабораторным работам для индивидуальных внеаудиторных контрольных заданий.

1. Задания к лабораторным работам могут быть использованы для индивидуальной внеаудиторной работы, например, для расчетно-графических работ (РГР):

Задание №1 Решение уравнений.

Задание №2 Решение систем линейных уравнений.

Задание №3 Интерполяция и аппроксимация функций.

Задание №4 Дифференцирование функций.

Задание №5 Интегрирование функций.

Задание №6 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Выполнение каждого задания РГР включает в себя:

1) Основные теоретические сведения (общая постановка задачи и краткое описание методов решения);

2) Расчетное задание (формулировка конкретной задачи и ее решение).

3. Контрольные вопросы лабораторных работ используются для подготовки к защите (и при защите) РГР.

4. Оформление РГР

1) Титульный лист (образец – см. ниже);

2) Содержание;

3) Список литературы.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Калининградский государственный технический

университет»

Факультет фундаментальной подготовки

Кафедра высшей математики

Дисциплина «Численные методы»

Расчетно – графическая работа

Вариант №____

Выполнил

студент

группа___________________

Проверил

Калининград 20__

Список рекомендуемой и использованной литературы

1. Бахвалов Н.С. Численные методы: Учеб. пособие.- изд. 7 - е/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М., БИНОМ-2011.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие.- изд. 2 - е/ Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е. В. Чижонков. – М., БИНОМ-2010.

3. Амосов А. А. Вычислительные методы: Учеб. пособие.- изд. 3-е/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н. В. Копченова. - М., Издательский дом МЭИ-2008.

4. Заварыкин В. М. Численные методы: Учеб. пособие./В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. – М.,Просвещение-1991.

5. Турчак Л. И. Основы численных методов: Учеб. пособие/ Турчак Л. И. – М.,Наука-1987.

6. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ: Учеб. пособие./под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича.-М.,Наука-1981.

7. Ракитин В. И., Первушин В. Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие./ Ракитин В. И. – М. Высш. шк., 1998.

139