Формула трапеций

Если на каждом отрезке разбиения промежутка интегрирования подынтегральную функцию заменить ее линейной интерполяцией по точкам и (другими словами, отрезком прямой, соединяющей точки и графика функции  см. рис.12), то получим непрерывную кусочно-линейную функцию

Графиком этой функции является ломаная линия.

В этом случае

и получаем квадратурную формулу трапеций:

Оценивая погрешность формулы трапеций (по формуле (5.3)) аналогично тому, как это было сделано для формулы прямоугольников, получим:

_.

Таким образом, погрешность формулы трапеций в случае, когда подынтегральная функция имеет непрерывную производную второго порядка, можно оценить по формуле

_(5.18)

Формула Симпсона (формула парабол)

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол) получается при замене подынтегральной функции квадратичной параболой, которая строится по трем точкам на каждом отрезке разбиения (крайние точки и средняя точка).

Пусть на отрезке парабола проходит через точки , и , где  середина отрезка , (см. рис. 13).

Тогда полином второй степени, проходящий через эти точки, можно записать в виде

(5.19)

Интегрирование последнего выражения дает

(5.20)

Таким образом, получается элементарная квадратурная формула Симпсона для приближенного вычисления значения интеграла на участке

(5.21)

Применяя эту формулу для каждого элементарного участка, получаем составную квадратурную формулу Симпсона

(5.22)

где , .

Приближенное значение интеграла , вычисленное по квадратурной формуле парабол (5.22), можно выразить через значения и , вычисленные по квадратурным формулам прямоугольников (5.11) и трапеций (5.17) соответственно:

_{Оценивая погрешность формулы Симпсона (5.22) с помощью формулы Тейлора, получим (см. формулу (5.3)):}

Таким образом, погрешность формулы Симпсона в случае, когда подынтегральная функция имеет непрерывную производную четвертого порядка, можно оценить по формуле

_{Как видно из (5.24), формула парабол имеет четвертый порядок точности, откуда следует, что она является точной для многочленов третьей степени (так как четвертая производная многочлена третьей степени равна нулю).}

Замечание.

Если использовать значения функции только в узлах: , то число элементарных отрезков разбиения должно быть четно (n = 2m), и формула Симпсона имеет вид

(5.25)

где ,

_{Оценивая погрешность формулы Симпсона (5.25), получим (см. формулу (5.3)):}

_.

Таким образом, погрешность формулы Симпсона в случае, когда используются значения функции только в узловых точках (при четном числе отрезков разбиения (n = 2m)), можно оценить по формуле

_(5.26)

_{Нетрудно убедиться, что при подстановке в формулу (5.26) значения n = 2m получается формула (5.24) оценки погрешности классической формулы Симпсона.}

_

Пример №1.

Найти приближенные значения интеграла с помощью квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок интегрирования разбит на равных частей.

Оценить величину погрешности полученных результатов в каждом случае.