Введение

Настоящее учебное пособие охватывает основной материал, предусмотренный образовательным стандартом для студентов бакалавриата в области «Техника и технология» специальному разделу высшей математики «Численные методы» и предполагает изучение дисциплины «Численные методы» в течение одного семестра: общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, т.е. 108 академических часов (из которых 14 часов – лабораторные работы, 16 часов – практические занятия).

Структура и содержание учебного пособия разработаны с учетом современной тенденции к сокращению часов аудиторных занятий за счет увеличения объема самостоятельной работы студентов по освоению соответствующего учебного материала.

Данное учебное пособие включает:

• основные теоретические сведения;

• примеры типовых задач с подробными решениями, поясняющие теорию и непосредственно связанные с предлагаемыми в пособии заданиями;

• задания для лабораторных работ по разделу «Численные методы», представленные каждая в 25 вариантах.

• контрольные вопросы.

В Приложениях приведены:

• общие указания по выполнению заданий (Приложение 1) и оформлению соответствующих отчетов (Приложение 2);

• образцы программ для расчетов на алгоритмических языках QBasic и Pascal (Приложение 3);

• примеры выполнения расчетов в вычислительном пакете Mathcad (Приложение 4);

• указания по использованию заданий к лабораторным работам для индивидуальных внеаудиторных контрольных заданий (Приложение 5).

Структура и уровень изложения учебного материала настоящего учебного пособия позволяют использовать его в качестве основы для лекционного курса, проведения практических занятий, лабораторных работ, а также для индивидуальной самостоятельной (внеаудиторной) работы по разделу высшей математики «Численные методы» для студентов всех форм обучения.

Тема №1. Решение уравнений

1. Основные сведения

Будем рассматривать уравнения с одной неизвестной

Если (или может быть приведено к такому виду), то уравнение (1.1) называется алгебраическим уравнением n-ой степени. Если не является многочленом, то уравнение называется трансцендентным. Как известно, алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно n корней (которые могут быть действительными и комплексными, и могут совпадать (кратные корни)). Будем рассматривать методы нахождения действительных корней уравнения (1.1).

Наиболее распространенными методами решения уравнения (1.1) являются:

• метод бисекции (метод половинного деления);

• метод простой итерации;

• метод хорд;

• метод касательных (метод Ньютона).

Задачу решения уравнения (1.1) разобьем на два этапа: первый – отделение корней уравнения, второй — нахождение корней с заданной точностью.

1.1 Отделение корней уравнения

Под отделением корней уравнения понимается нахождение промежутков изменения переменной , содержащих только один корень уравнения.

Одним из способов отделения корней уравнения является графический, который заключается в следующем:

• уравнение (1.1) приводится к виду

• промежутки, содержащие корни уравнения (1.1), определяются по графикам функций и — промежутки, содержащие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример №1.

Для графического отделения корней уравнения

приведем его к виду

и построим графики функций и (рис.1).

Из графиков видно, что уравнение имеет единственный корень, принадлежащий отрезку [1;1,5].



Иногда для локализации корней уравнения требуется произвести вычисления. При этом помогают следующие свойства:

• если непрерывная на отрезке [a;b] функция принимает на его концах значения разных знаков , то уравнение (1.1) имеет на этом отрезке по крайней мере один корень;

• если функция к тому же строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

Допустим, известно, что корни уравнения (1.1) расположены на отрезке [a;b]. Будем вычислять значения функции , начиная со значения , двигаясь вправо с некоторым шагом . При изменении знака функции на следующем шаге будем предполагать существование одного корня уравнения на отрезке . Шаг должен быть достаточно маленьким, чтобы исключить неоднократное изменение знака функции на отрезке (см. рис.2).

Пример №2. Отделить корни уравнения

.