Формулы прямоугольников

Наиболее простыми являются квадратурные формулы прямоугольников.

Общий принцип получения этих формул заключается в следующем.

Пусть отрезок разбит точками на элементарные отрезки .

По свойству аддитивности определенного интеграла имеем:

(5.5)

где

(5.6)

- интеграл по элементарному отрезку , который дает значение площади криволинейной трапеции с основанием (если на данном отрезке ).

В соответствии с интегральной теоремой о среднем, если подынтегральная функция непрерывна, эта площадь равна площади прямоугольника с основанием и высотой , где . Фактически это означает замену подынтегральной функции на функцию , принимающую на отрезке постоянное значение

Поскольку значение априори неизвестно, осуществляют оценку величины высоты прямоугольника, полагая ее значения в пределах . В зависимости от выбранной оценки, получают ту или иную элементарную квадратурную формулу прямоугольников для .

Составная квадратурная формула прямоугольников для вычисления интеграла на всем отрезке получается суммированием всех элементарных квадратурных формул в соответствии с (5.5).

Получим выражения наиболее часто используемых квадратурных формул прямоугольников.

Итак, пусть элементарные отрезки одинаковой длины, т. е. . Если на каждом отрезке разбиения промежутка интегрирования подынтегральную функцию заменить функцией , принимающей постоянное значение, то функция будет иметь ступенчатый вид:

.

В этом случае

и получаем квадратурную формулу прямоугольников:

В зависимости от выбора значений в формулах (5.7) – (5.8) различают несколько вариантов формул прямоугольников (см. рис.11):

• Формула левых прямоугольников (см. рис 11, а)).

В этом случае в формуле (5.7) полагают значение функции равным значению подынтегральной функции в левом конце отрезка разбиения:

.

Тогда квадратурная формула (5.8) принимает вид

• Формула правых прямоугольников (см. рис 11, б)).

В этом случае в формуле (5.7) полагают значение функции равным значению подынтегральной функции в правом конце отрезка разбиения:

.

Тогда квадратурная формула (5.8) принимает вид

• Классическая формула прямоугольников (см. рис 11, в)).

В этом случае в формуле (5.7) полагают значение функции равным значению подынтегральной функции в середине отрезка разбиения:

.

Тогда квадратурная формула (5.8) принимает вид

Оценим погрешность классической формулы прямоугольников (по формуле (5.3)).

Используя формулу Тейлора, запишем

(5.12).

Тогда

(5.13)

. (5.14)

Поскольку , то .

Так как , то получаем оценку

Таким образом, погрешность классической формулы прямоугольников в случае, когда подынтегральная функция имеет непрерывную производную второго порядка, можно оценить по формуле

Оценка (5.15) означает, что классическая формула прямоугольников имеет второй порядок точности относительно h. Из этой же оценки следует, что эта формула является точной для многочленов первой степени.

Формулы правых (5.10) и левых (5.9) прямоугольников имеют лишь первый порядок точности (абсолютная величина погрешности каждой из формул не превышает ) и поэтому на практике используются редко.