3. Контрольные вопросы
3.1. Интерполяция
Метод Лагранжа
Полиномом какой степени является интерполяционный полином Лагранжа при
узлах?Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа?
Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода Лагранжа?
Можно ли располагать узлы интерполяции произвольно при использовании метода Лагранжа?
Как повлияет дополнительная
точка
исходных данных внутри отрезка
на
точность интерполяции?Как определить погрешность интерполяции в узле?
Как влияет количество узлов интерполяции на точность интерполяции?
Каким путем в общем случае можно повысить точность интерполяции?
Метод Ньютона
Можно ли располагать неравномерно узлы интерполяции при использовании основного метода Ньютона?
Каким путем можно повысить точность интерполяции при использовании метода Ньютона?
Конечную разность какого наивысшего порядка можно получить по
исходным точкам?Как выражается конечная разность
порядка?Можно ли конечную разность выразить только через исходные значения функции?
Какой прием можно использовать для оценки погрешности интерполяции таблично заданной функции?
Интерполяционный полином какой степени можно получить методом Ньютона при трех заданных точках?
Сколько существует интерполяционных полиномов степени ?
Интерполяция сплайнами
Что называется кубическим сплайном?
Через сколько исходных точек проходит один кубический полином в кубическом сплайне?
Сколько коэффициентов, подлежащих определению, содержит кубический сплайн?
Какие условия используются для нахождения коэффициентов сплайнов?
Могут ли узлы сплайнов располагаться неравномерно?
Аппроксимация
Метод наименьших квадратов
Можно ли при аппроксимации полиномом таблично заданной функции обеспечить прохождение аппроксимирующей функции точно через все точки?
Всегда ли увеличение суммы квадратов отклонений соответствует худшей близости исходной и аппроксимирующей функций?
Можно ли с помощью метода наименьших квадратов найти параметры неполиномиальной аппроксимирующей функции?
В чем отличие применения метода при использовании в качестве аппроксимирующей функции полинома и показательной функции?
В каком случае система (3.19) получается линейной относительно искомых коэффициентов?
Тема №4. Дифференцирование функций
Основные сведения
Вычисление первой производной
Исходя из определения производной
,
(4.1)
(где
или
),
естественно использовать для ее вычисления приближенные формулы:
,
(4.2)
,
(4.3)
где h- малый параметр.
Выражение (4.2) называется правой , (4.3)- левой разностными производными.
Из формулы Тейлора имеем:
,
(4.4)
.
(4.5)
Из (4.4) и (4.5) получаем, соответственно:
,
(4.6)
.
(4.7)
Поэтому погрешности формул (4.2), (4.3), определяемые последними слагаемыми формул (4.6), (4.7), равны, соответственно:
,
Следовательно,
,
(4.8)
.
(4.9)
Таким образом, формулы (4.2) и (4.3) аппроксимируют первую производную с первым порядком точности по h.
Запишем формулу Тейлора в видах:
,
(4.10)
.
(4.11)
Вычитанием из (4.10) (4.11) можно получить выражение для первой производной в следующем виде:
.
(4.12)
Выражение
называется центральной
разностной производной
и,
как следует из (4.12), аппроксимирует
производную со вторым
порядком точности по
h:
.
(4.13)
Используя разложение функции в ряд Тейлора, можно получить формулы любого порядка точности.
Например, равенство
(4.14)
представляет одностороннюю аппроксимацию производной со вторым порядком точности, а равенство
(4.15)
дает центральную разностную производную с четвертым порядком точности. Однако с повышением порядка точности возрастает и число используемых значений функции.