1.2. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов
Если
значения
получены в узловых точках в результате
измерений, т. е. с некоторой погрешностью,
то можно поставить задачу нахождения
функции, не проходящей через заданные
точки (
,
)
(что означало бы тщательное отслеживание
погрешностей измерений), а наилучшим
образом в известном смысле аппроксимирующую
функцию, заданную со случайными
погрешностями в узлах.
Пусть
имеются данные (
,
),
.
Найдем
функцию
,
которая проходила бы максимально
приближенно к данным точкам (не требуя
точного прохождения через них —см.
кривую на рис. 9).
В качестве искомой функции выбираем полином:
(3.17)
Требуем, чтобы сумма
(3.18)
была минимальной.
имеет в качестве параметров
,
т.е.
.
Рассматриваем
как функцию от
и
ищем ее минимум, который требует
выполнения условий:
(3.19)
Из системы (3.19) находим и полином (3.17).
Наиболее часто используются полиномы первой и второй степени:
(3.20)
(3.21)
В случае (3.20) — полином первой степени — имеем:
,
и система (3.19) принимает вид
(3.22)
В случае (3.21) — полином второй степени — имеем:
,
и получаем систему:
(3.23)
Пример №6.
Пусть функция задана следующей таблицей значений
-
x
1
3
5
7
y
4,0
6,0
12,0
14,0
Аппроксимировать данную функцию полиномом первой степени и вычислить ее значение при .
Решение
Вычисляем значение сумм:
Составляем систему (3.22):
из
которой находим значения
,
и многочлен
(прямая на рис. 10).
Значение функции при x=2,5 равно
.
2. Лабораторная работа № 3 «Интерполяция и аппроксимация функций»
Задания
Функция задана таблицей. Определить, каким аналитическим выражением можно представить указанную функцию на отрезке и вычислить значения функции в заданных точках x1 и x2.
Примечание. Для расчетов можно использовать программу №4 (на языке QBasic) из Приложения 3.
Вариант 1.
x |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
f(x) |
0,285 |
0,319 |
0,223 |
0,042 |
- 0,148 |
-0,273 |
-0,283 |
-0,178 |
x1=58, x2=79
Вариант 2
x |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
f(x) |
0,1198 |
0,0897 |
0,0660 |
0,0477 |
0,0339 |
0,0236 |
0,0162 |
0,0109 |
x1=1,25, x2=1,76
Вариант 3
x |
0,13 |
0,18 |
0,23 |
0,28 |
0,33 |
0,38 |
0,43 |
0,48 |
f(x) |
0,1296 |
0,1790 |
0,2280 |
0,2764 |
0,3242 |
0,3712 |
0,4173 |
0,4626 |
x1=0,20 x2=0,41
Вариант 4
x |
1,1 |
1,6 |
2,1 |
2,6 |
3,1 |
3,6 |
4,1 |
4,6 |
f(x) |
1,029 |
1,389 |
1,649 |
1,800 |
1,852 |
1,822 |
1,739 |
1,632 |
x1=1,3 x2=4,0
Вариант 5
x |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
f(x) |
0,8802 |
0,9103 |
0,9340 |
0,9523 |
0,9661 |
0,9764 |
0,9838 |
0,9891 |
x1=1,34 x2=1,65
Вариант 6
x |
0,75 |
0,80 |
0,85 |
0,90 |
0,95 |
1,00 |
1,05 |
1,10 |
f(x) |
0,2803 |
0,3186 |
0,3592 |
0,4021 |
0,4472 |
0,4945 |
0,5438 |
0,5952 |
x1=0,82 x2=1,03
Вариант 7
x |
2,8 |
2,9 |
3,0 |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
f(x) |
3,9285 |
4,4102 |
4,9384 |
5,5174 |
6,1521 |
6,8472 |
7,1605 |
8,4467 |
x 1=3,02 x2=3,31
Вариант 8
x |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
f(x) |
1,0083 |
1,1134 |
1,2208 |
1,3310 |
1,4449 |
1,5634 |
1,6876 |
1,8186 |
x 1=1,14 x2=1,42
Вариант 9
x |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
f(x) |
0,985 |
0,966 |
0,940 |
0,906 |
0,866 |
0,819 |
0,766 |
0,707 |
x1=23 x2=41
Вариант 10
x |
2,70 |
2,75 |
2,80 |
2,85 |
2,90 |
2,95 |
3,00 |
3,05 |
f(x) |
1,5827 |
1,4865 |
1,3721 |
1,2383 |
1,0838 |
0,9071 |
0,7069 |
0,4817 |
x1=2,72 x2=2,93
Вариант 11
x |
0,180 |
0,185 |
0,190 |
0,195 |
0,200 |
0,205 |
0,210 |
0,215 |
f(x) |
5,6154 |
5,4669 |
5,3263 |
5,1930 |
5,0665 |
4,9462 |
4,8317 |
4,7226 |
x1=0,182 x2=0,208
Вариант 12
x |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
0,30 |
0,35 |
0,40 |
0,45 |
0,50 |
f(x) |
0,8607 |
0,8187 |
0,7788 |
0,7408 |
0,7047 |
0,6703 |
0,6376 |
0,6065 |
x1=0,151, x2=0,415
Вариант 13
x |
0,101 |
0,106 |
0,111 |
0,116 |
0,121 |
0,126 |
0,131 |
0,136 |
f(x) |
1,2618 |
1,2764 |
1,2912 |
1,3062 |
1,3213 |
1,3366 |
1,3521 |
1,3677 |
x1=0,113 x2=0,129
Вариант 14
x |
0,15 |
0,16 |
0,17 |
0,18 |
0,19 |
0,2 |
0,21 |
0,22 |
f(x) |
4,482 |
4,953 |
5,474 |
6,050 |
6,686 |
7,389 |
8,166 |
9,025 |
x1=0,154 x2=0,173
Вариант 15
x |
3,50 |
3,55 |
3,60 |
3,65 |
3,70 |
3,75 |
3,80 |
3,85 |
f(x) |
33,115 |
34,813 |
36,598 |
38,475 |
40,447 |
42,521 |
44,701 |
46,993 |
x1=3,575 x2=3,721
Вариант 16
x |
0,01 |
0,06 |
0,11 |
0,16 |
0,21 |
0,26 |
0,31 |
0,36 |
f(x) |
0,992 |
0,952 |
0,915 |
0,877 |
0,842 |
0,808 |
0,775 |
0,744 |
x1=0,027 x2=0,124
Вариант 17
x |
0,45 |
0,46 |
0,47 |
0,48 |
0,49 |
0,50 |
0,51 |
0,52 |
f(x) |
20,195 |
19,613 |
18,943 |
18,175 |
17,301 |
16,312 |
15,198 |
13,948 |
x 1=0,467 x2=0,493
Вариант 18
x |
0,115 |
0,120 |
0,125 |
0,13 |
0,135 |
0,14 |
0,145 |
0,15 |
f(x) |
8,657 |
8,293 |
7,958 |
7,649 |
7,362 |
7,096 |
6,848 |
6,617 |
x 1=0,128 x2=0,137
Вариант 19
x |
1,415 |
1,420 |
1,425 |
1,430 |
1,435 |
1,440 |
1,445 |
1,45 |
f(x) |
0,88855 |
0,88960 |
0,89064 |
0,8917 |
0,8927 |
0,8938 |
0,8947 |
0,8957 |
x1=1,4161 x2=1,4263
Вариант 20
x |
1,00 |
1,01 |
1,02 |
1,03 |
1,04 |
1,05 |
1,06 |
1,07 |
f(x) |
0,3679 |
0,3642 |
0,3606 |
0,3570 |
0,3535 |
0,3499 |
0,3465 |
0,3430 |
x1=1,032 x2=1,065
Вариант 21
x |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
f(x) |
1,2063 |
1,2379 |
1,2700 |
1,3025 |
1,3356 |
1,3693 |
1,4035 |
1,4382 |
x1=1,041, x2=1,132
Вариант 22
x |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
f(x) |
1,5913 |
1,6164 |
1,6421 |
1,6685 |
1,6956 |
1,7233 |
1,7517 |
1,7808 |
x1=1,046, x2=1,167
Вариант 23
x |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
f(x) |
0,8724 |
0,8820 |
0,8912 |
0,9001 |
0,9086 |
0,9168 |
0,9246 |
0,9320 |
x1=1,083 x2=1,171
Вариант 24
x |
1,04 |
1,05 |
1,06 |
1,07 |
1,08 |
1,09 |
1,1 |
1,11 |
f(x) |
1,5913 |
1,6038 |
1,6164 |
1,6292 |
1,6421 |
1,6552 |
1,6685 |
1,6820 |
x1=1,053 x2=1,094
Вариант 25
x |
1,08 |
1,09 |
1,1 |
1,11 |
1,12 |
1,13 |
1,14 |
1,15 |
f(x) |
0,0770 |
0,0862 |
0,0953 |
0,1044 |
0,1133 |
0,1222 |
0,1310 |
0,1398 |
x1=1,111 x2=1,137