Интерполяция сплайнами
При кусочно-полиномиальной интерполяции мы получаем функцию, непрерывную во всех точках рассматриваемого отрезка, но ее первая производная не является непрерывной в точках стыка двух соседних многочленов (см. рис. 7, 8). Этого недостатка не имеют сплайн-функции.
Сплайн-функция – это функция, которая на каждом частичном отрезке является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.
Если требуется, чтобы аппроксимирующая функция была дифференцируемой на всем рассматриваемом отрезке, то можно использовать кусочно-квадратичные полиномы – квадратичные сплайны.
Если требуется, чтобы функция была по крайней мере дважды непрерывно дифференцируема, то в общем случае этого нельзя добиться с помощью кусочно-квадратичных полиномов. В этом случае используются кусочно-кубические полиномы – кубические сплайны.
Кубический
сплайн
склеивается из полиномов третьей
степени, которые для
участка
записываются
так:
Для
всего интервала будет соответственно
кубических полиномов, отличающихся
коэффициентами
.
Обычно узлы при сплайновой интерполяции
располагают равномерно, т.е.
(хотя
это и необязательно).
Для
построения интерполяции кубическими
сплайнами
необходимо найти четыре коэффициента
при условии прохождения каждого полинома
через две точки
,
,
следствием чего являются следующие
уравнения:
Первое условие соответствует прохождению полинома через начальную точку , второе через конечную точку .
Найти все коэффициенты из этих условий нельзя, так как условий меньше, чем искомых параметров. Поэтому указанные условия дополняются условиями гладкости функции (т.е. непрерывности первой производной) и гладкости первой производной (т.е. непрерывности второй производной) в узлах интерполяции.
Математически
эти условия записываются как равенства
соответственно первой и второй производных
в конце
и
начале
участков.
А именно, так как
то:
в
конце
участка
равна
в начале
участка
:
в
конце
участка
равна
в начале
участка
:
Таким
образом, получается система линейных
уравнений (для всех участков), содержащая
уравнения с
неизвестными
(коэффициентами сплайнов)
.
Для однозначного решения системы к имеющимся уравнениям добавляют два граничных условия одного из следующих четырех видов (чаще применяют условия первого вида):
Совместное
решение получающейся в результате
системы
уравнений позволяет найти все
коэффициентов сплайнов.
Для восстановления производных можно продифференцировать на каждом участке соответствующий кубический полином.
В случае необходимости определения производных в узлах существуют специальные приемы, сводящие определение производных к решению более простой системы уравнений относительно искомых производных второго или первого порядка.
К важным достоинствам интерполяции кубическими сплайнами относится получение функции, имеющей минимально возможную кривизну.
К недостаткам сплайновой интерполяции относится необходимость получения сравнительно большого числа параметров.