Решение

Процесс вычислений удобно свести в таблицу.

Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней.

x	y
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	1,2715 2,4652 3,6443 4,8095 5,9614 7,1005	1,193 1,1791 1,1652 1,1519 1,1391	-0,0146 -0,0139 -0,0133 -0,0128	0,0007 0,0006 0,0005	-0,0001 -0,0001	0,0000

1. При имеем:

.

По формуле (3.8) получим:

2. Значение функции в точке вычислим по формуле (3.10).

В этом случае

.

Тогда



Замечание.

Вычисление интерполяционных многочленов Ньютона может быть осуществлено также по следующему алгоритму.

Если ввести

,

то формула (3.9) представима в виде:

(3.16)

Для программирования вычислений по формуле (3.16) разделяем их на следующие шаги:

• Сначала вычисляем . Далее вычисляем . Затем и .

• На следующих шагах вычисляем и ; затем и и т.д.



2. Локальная (кусочно-полиномиальная) интерполяция

При локальной интерполяции исходный отрезок разбивается на несколько отрезков меньшей длины, на каждом из которых функция интерполируется своим многочленом.

Простейшим видом локальной интерполяции является линейная интерполяция, при которой заданные точки соединяются прямолинейными отрезками.

Пример №4. Пусть функция задана следующей таблицей значений

x	0	1	2	3	4
y	1,0	1,8	2,2	1,4	1,0

Осуществить линейную интерполяцию данной функции и вычислить ее значение при x=2,5.

Решение

1. Определяем уравнения прямых, соединяющих две соседние точки.

На отрезке : ;

на отрезке : ;

на отрезке : ;

на отрезке : .

График полученной функции представлен на рис.7.

2. Для вычисления значения функции в заданной точке выбираем третий отрезок:

_

В случае квадратичной интерполяции используются значения функции в трех последовательных точках.

Пример №5. Пусть функция задана следующей таблицей значений

x	0	1	2	3	4
y	1,0	1,8	2,2	1,4	1,0

Осуществить квадратичную интерполяцию данной функции и вычислить ее значение при .

Решение

1. Определим уравнения полиномов второй степени, проходящих через три соседние точки.

Пусть полином, проходящий через три первые точки, имеет вид

.

Тогда коэффициенты этого полинома находим из системы уравнений

.

Получим , т. е. .

Полином, проходящий через последние три точки, имеет вид .

Его коэффициенты определим из системы

Получим , т. е. .

График полученной функции показан на рис. 8.

2. Значение функции в заданной точке найдем из второго полинома:

.

