Решение
Построим таблицу конечных разностей.
|
|
|
|
-1
0
1 |
4
1
0 |
-3
-1 |
2 |
Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид
Подставим в выражение значения из таблицы конечных разностей.
Получим
Как и следовало ожидать, получили тот же многочлен, что и в примере №1.
Если ввести
,
то
,
,
,…,
,
и формула (3.8) записывается в виде:
(3.9)
Полученное выражение может интерполировать функцию на всем отрезке .
Однако
более
целесообразно
(с точки зрения повышения точности
расчетов и уменьшения числа членов в
(3.9)) ограничиться
случаем
,
т.е. использовать (3.9) для
.
Для
других значений аргумента, например,
для
,
вместо
лучше
взять значение
.
Таким образом, интерполяционный многочлен можно записать в виде:
(3.10)
Многочлен, получаемый по формуле (3.10), называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.
Его используют обычно для левой половины отрезка .
Это
объясняется тем, что разности
вычисляются
через значения функции
,
причем
,
поэтому для больших значений
нельзя вычислить разности высших
порядков (
).
Например,
при
в (3.10) можно учесть только
,
и
.
Для
правой
половины
отрезка лучше вычислять разности справа
налево:
(
).
Тогда интерполяционный многочлен примет вид:
(3.11)
Многочлен, получаемый по формуле (3.11) называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.
Вследствие единственности представления полиномы Лагранжа и Ньютона совпадают.
Используя (3.6), можно записать оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона (3.10), (3.11) соответственно в виде:
(3.12)
(3.13)
При
малых значениях h
и при условии непрерывности
можно приближенно считать
,
где
.
При этом условии получаем следующие оценки интерполяционных формул Ньютона:
(3.14)
(3.15)
Формулы (3.14), (3.15) позволяют делать оценку погрешности метода интерполирования, когда аналитическое значение функции неизвестно.
Пример №3.
Вычислить в точках x=0,1 и x=0,9 значения функции, заданной следующей таблицей
x |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
y |
1,2715 |
2,4652 |
3,6443 |
4,8095 |
5,9614 |
7,1005 |