Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Калининградский государственный технический университет»

Т.В. Ермакова, В.В. Серебряков

Численные методы

Утверждено Ученым советом университета

в качестве учебного пособия для студентов бакалавриата

в области «Техника и технология»

Калининград

Издательство ФГБОУ ВПО «КГТУ»

2012

УДК 519.95

УТВЕРЖДЕНО

Ректором ФГБОУ ВПО «Калининградский

государственный технический

университет»

Авторы - Ермакова Т.В., канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет»,

Серебряков В.В., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет»

Учебное пособие содержит основные сведения по разделу высшей математики «Численные методы» в соответствии с образовательным стандартом бакалавриата в области «Техника и технология».

Предназначено для студентов технических специальностей высших учебных заведений, может быть использовано преподавателями технических колледжей, а также всеми, кто в своей деятельности использует численные методы расчетов.

Учебное пособие рассмотрено и одобрено кафедрой высшей математики ФГБОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет» 16 апреля 2012 г, протокол № 7 .

Учебное пособие рассмотрено и одобрено ученым советом факультета фундаментальной подготовки ФГБОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет» 13 июня 2012 г., протокол № 7.

Рецензенты:

Антипов Ю. Н., профессор, доктор ф. – м. наук, заведующий кафедрой высшей математики ФГБОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет»;

Юров А. В., профессор, доктор ф. – м. наук, заведующий кафедрой теоретической физики БФУ им. И. Канта.

ФГБОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет»,

2012 г.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………6

Тема №1. Решение уравнений ……………………………………………………7

1. Основные сведения……………………………………….…………………7

   1. Отделение корней уравнения………………………………………….7

2. Нахождение корней уравнения…………………………………...…11

1. Лабораторная работа №1 «Решение уравнений»…………………..….17

2. Контрольные вопросы……………………………………………………..18

Тема №2. Решение систем линейных уравнений …………………………….20

1. Основные сведения……………………………………….………………..20

   1. Прямые методы……………………………………………………….20

2. Итерационные методы……………………………………………….25

1. Лабораторная работа №2 «Решение систем линейных уравнений»………………………………………………………………….30

2. Контрольные вопросы…………………………………………………….33

Тема №3. Интерполяция и аппроксимация функций ………………………34

1. Основные сведения……………………………………….………………..34

   1. Интерполяция…………………………………………………………34

1. Глобальная полиномиальная интерполяция…………………….34

2. Локальная (кусочно-полиномиальная) интерполяция………….43

3. Интерполяция сплайнами…………………………………….......46

2. Аппроксимация……………………………………………………….48

1. Лабораторная работа №3 «Интерполяция и аппроксимация функций»…………………………………………………………………….52

2. Контрольные вопросы……………………………………………………..56

Тема №4. Дифференцирование функций ……………………………………..58

1. Основные сведения……………………………………….………………..58

   1. Вычисление первой производной……………………………………58

2. Вычисление второй производной………………………………...…60

3. Дифференцирование с использованием интерполяционных формул………………………………………………………………...60

1. Лабораторная работа №4 «Дифференцирование функций»………..64

2. Контрольные вопросы…………………………………………………….68

Тема №5. Интегрирование функций …………………………………………..70

1. Основные сведения……………………………………….………………..70

   1. Общие принципы численного интегрирования…………………….70

2. Простейшие квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона ……………………………………………………………..71

3. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса………………………...85

4. Квадратурные формулы Гаусса……………………………………...87

1. Лабораторная работа №5 «Интегрирование функций»……………...92

2. Контрольные вопросы…………………………………………………….94

Тема №6. Решение обыкновенных дифференциальных

уравнений …………………………………………………..…………96

1. Основные сведения……………………………………….………………..96

   1. Понятие о численном решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка ………………….96

2. Метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера ………………..98

3. Методы Рунге - Кутта…………………………………………….…104

1. Лабораторная работа №6 «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений»………………………………………..111

2. Контрольные вопросы……………………………………………………113

Приложение 1.……………………………………………………………………115

Приложение 2…………………………………………………………………….116

Приложение 3…………………………………………………………………….117

Приложение 4…………………………………………………………………….126

Приложение 5…………………………………………………………………….141

Список рекомендуемой и использованной литературы……………………142