5.5. Розрахунок ізотермічного потоку

При ізотермічному плині термодинамічна температура газу залишається постійною величиною. Це спрощує виконання розрахунків, оскільки скорочується число необхідних рівнянь. При цьому рівняння енергії замінюється умовою (рис. 5.6)

T = const. (5.43)

Інтегрування рівняння імпульсу (5.19) сумісно з рівнянням стану (див. розділ 1.2), рівнянням нерозривності (5.7) і умовою (5.43) дає формулу для розрахунку масових витрат газу при ізотермічному плині

m = f (5.44)

де f – прохідний переріз пневмолінії; p₁ – абсолютний статичний тиск на вході; p₂ – абсолютний протитиск на виході.

При невеликих різницях тисків їх відношення p₁/p₂ наближається до одиниці, а значення ln(p₁/p₂) мале. Це дозволяє спростити формулу (5.44)

m = f (5.45)

Для випадку ламінарного плину в каналі круглого перерізу підста-новкою в (5.45) значення коефіцієнта Дарсі

64/Re (5.46)

після перетворень отримуємо

m = (5.47)

де _д – коефіцієнт динамічної вязкості.

5.6. Розрахунок витікання газу

Розвязуванням системи розглянутих вище рівнянь можна вивести формули для розрахунку витікання газу через отвір в тонкій стінці ємності у зовнішнє середовище. Формули витікання застосовують для розрахунку пневмодроселів, пневмоапаратів, а також пневмоліній.

Формула Сен-Венана – Ванцеля. Нехай задані абсолютний тиск р₁ і абсолютна температура Т₁ в ємності, прохідний переріз f отвору, а також протитиск р₂ на виході. Для розрахунку масових витрат при таких умовах потрібно застосовувати рівняння стану (1.3), рівняння нерозривності (5.7) і рівняння Бернуллі – Сен-Венана (5.14). Припустимо, що стан газу змінюється ізентропно, тому в якості четвертого рівняння будемо застосовувати залежність для ізентропного процесу (5.13). Розвязування вказаної системи рівнянь приводить до формули Сен-Венана – Ванцеля для розрахунку витікання газу

m = _в f p₁ (5.48)

де _в – коефіцієнт витрат; k – показник ізентропи (для повітря k = 1,4); p₁ – абсолютний тиск на вході; T₁ – абсолютна температура на вході;  - фун-кція відношення тисків p₂/p₁ (спосіб визначення  викладений нижче).

Функція (p₂/p₁) вводиться з метою правильного врахування режиму витікання. При витіканні газу також спостерігається явище критичної швидкості і докритичний та надкритичний режими плину. Теоретичний розрахунок витікання оснований на розвязування вищенаведеної системи рівнянь, дає правильний результат при докритичному режимі. Критична швидкість і відповідно невеликі витрати досягаються при критичному від-ношенні тисків, рівному

p₂ / p₁ = (5.49)

При користуванні формулою (5.48) необхідно визначити, яким буде режим плину, докритичний або надкритичний і відповідно обрати значен-ня функції .

Режим витікання визначається за заданим відношенням тисків. До-критичний режим має місце в інтервалі

1 > p₂ / p₁ > 0,528. (5.50)

При цьому у формулу розрахунку витікання (5.48) слід підставляти

(p₂ / p₁). (5.51)

Якщо ж відношення тисків менше або дорівнює критичному

p₂ / p₁  0,528. (5.52)

При надкритичному режимі витікання у формулу (5.48) слід підставляти критичне відношення тисків

 = 0,528. (5.53)

Якщо підставляти вираз критичного відношення тисків за (5.49), можна отримати загальну формулу розрахунку критичних витрат

m = _в f p₁ (5.54)

Коефіцієнт витрат є емпіричним коефіцієнтом, призначення якого усувати неминучі відмінності дійсних витрат від теоретично обчислених внаслідок неврахованих при розрахунку явищ, наприклад сил тертя, непря-молінійності струминних ліній і т.п.

Чисельне значення коефіцієнта витрат залежить від умов витікання. Для витікання через отвір в тонкій стінці ємності _в = 0,5 … 0,7. Коефі-цієнт витрат збільшується при умові менш вираженого звуження струменя, наприклад, при витіканні через діафрагму або дросель, вбудовані у канал. При витіканні через довгий канал коефіцієнт витрат зменшується внас-лідок гідравлічного опору каналу.

Наближена формула для розрахунку витікання. Розрахунок виті-кання за формулою Сен-Венана – Ванцеля утруднений тим, що функцію потрібно зводити у дробовий степінь. Цього можна уникнути, якщо за-стосовувати наближену формулу, яка наводиться нижче

m = _в f p₁ (5.55)

Результат, який ми отримуємо за формулою (5.55), відрізняється від точного не більше ніж на 3%, що при розрахунках пневмопривода є цілком допустимим. При розрахунку за формулою (5.55) застосовують критичне відношення тисків, що дорівнює

р_2кр /р₁ = 0,5. (5.56)