Прототип b11 № 27124
Во
сколько раз объем конуса, описанного
около правильной четырехугольной
пирамиды, больше объема конуса, вписанного
в эту пирамиду?
Решeние:
Объемы данных конусов соотносятся как
площади их оснований, и, следовательно,
как квадраты их диаметров. Диаметр
вписанного конуса равен стороне квадрата,
диаметр описанного – диагонали квадрата,
длина которой равна
длины стороны. Поэтому объем описанного
конуса в 2 раза больше объема вписанного.
Ответ: 2.
Прототип B11 № 27178
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Решeние:
Объем пирамиды с площадью основания
и
высотой
равен
,
откуда площадь основания
Сторона
основания тогда
,
а диагональ
.
Боковое ребро найдем по теореме Пифагора:
Ответ: 13.
Прототип B11 № 27131
Во
сколько раз увеличится площадь поверхности
правильного тетраэдра, если все его
ребра увеличить в два раза?
Решeние:
Площадь поверхности тетраэдра равна
сумме площадей его граней, которые равны
.
Поэтому при увеличении ребер вдвое,
площадь поверхности увеличится в 4 раза.
Ответ: 4.
Прототип B11 № 27123
Конус
описан около правильной четырехугольной
пирамиды со стороной основания 4 и
высотой 6. Найдите его объем, деленный
на
.
Решeние:
Радиус основания конуса
равен
половине диагонали квадрата
:
.
Тогда объем конуса, деленный на
:
Ответ: 16.
Прототип B11 № 27173
Площадь
осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра,
деленную на
.
Решeние:
Площадь осевого сечения цилиндра равна
,
так как это прямоугольник. Площадь
боковой поверхности
.
Ответ: 4.
Прототип B11 № 27115
От
треугольной пирамиды, объем которой
равен 12, отсечена треугольная пирамида
плоскостью, проходящей через вершину
пирамиды и среднюю линию основания.
Найдите объем отсеченной треугольной
пирамиды.
Решeние:
Объем пирамиды . Площадь основания отсеченной части меньше в 4 раза (так как высота и сторона треугольника в основании меньше исходных в 2 раза), поэтому и объем оставшейся части меньше в 4 раза. Тем самым, он равен 3.
Ответ: 3.
Прототип B11 № 27158
Найдите
площадь поверхности пространственного
креста, изображенного на рисунке и
составленного из единичных кубов.
Решeние:
Площадь поверхности креста равна площади поверхности 6-ти кубов, у которых отсутствует одна из шести сторон. Получаем, что площадь поверхности:
.
Ответ: 30.
Прототип B11 № 27148
В
основании прямой призмы лежит ромб с
диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее
поверхности равна 248. Найдите боковое
ребро этой призмы.
Решeние:
Сторона ромба выражается через его диагонали и как
.
Площадь ромба
.
Тогда боковое ребро найдем из выражения для площади поверхности:
.
Ответ: 10.
Прототип B11 № 27105
Объем
прямоугольного параллелепипеда,
описанного около сферы, равен 216. Найдите
радиус сферы.
Решeние:
Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы, является кубом. Тогда длина его ребра
.
Радиус сферы равен половине длины ребра
.
Ответ: 3.
Прототип B11 № 27102
Если
каждое ребро куба увеличить на 1, то его
объем увеличится на 19. Найдите ребро
куба.
Решeние:
Объем куба с ребром равен . Увеличение объема равно 19:
Решим уравнение:
Тем самым, .
Ответ: 2.
Прототип B11 № 25721
Найдите
площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные
углы прямые).
Решeние:
Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 1, 5, 7 и 1, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 1, 2 — передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов:
Ответ: 96.