Прототип b11 № 27053

Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Решeние:

Пусть объём первого цилиндра равен , объём второго — , где  — радиусы оснований цилиндров,  — их высоты. По условию , . Выразим объём второго цилиндра через объём первого:

,

Откуда

куб. м.

Ответ: 9.

Прототип B11 № 27054

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решeние:

Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим : , откуда неизвестное ребро

.

Ответ: 5.

Прототип B11 № 27055

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Решeние:

Пусть ребро куба равно , тогда площадь поверхности куба , а диагональ куба . Тогда

.

Ответ: 3.

Прототип B11 № 27056

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Решeние:

Площадь поверхности куба выражается через его ребро как , а объем — как . Отсюда видно, что площадь поверхности куба выражается через его объем как . Отсюда находим, что

.

Ответ: 24.

Прототип B11 № 27057

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота – 10.

Решeние:

площадь боковой поверхности фигуры равна сумме площадей всех боковых граней

.

Ответ: 300.

Прототип B11 № 27058

Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Решeние:

Площадь боковой поверхности цилиндра   , поэтому

Ответ: 12.

Прототип B11 № 27059

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Решeние:

Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус как , а площадь поверхности сферы – как . Видно, что площадь поверхности шара в раза больше площади поверхности большого круга.

Ответ: 12.

Прототип B11 № 27060

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Решeние:

Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим :

,

откуда неизвестное ребро

,

Диагональ параллелепипеда находится как

.

Ответ: 3.

Прототип B11 № 27061

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Решeние:

Площадь поверхности куба выражается через его ребро как , поэтому при увеличении длины ребра на площадь увеличится на

Отсюда находим, что ребро куба равно

.

Ответ: 4.

Прототип B11 № 27062

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

Решeние:

Сторона ромба выражается через его диагонали и формулой

.

Найдем площадь ромба

Тогда площадь поверхности призмы равна

Ответ: 248.

Прототип B11 № 27063

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

Решeние:

Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы выражается через сторону ее основания и боковое ребро как

Подставим значения и :

,

откуда находим, что

Ответ: 12.

Прототип B11 № 27064

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решeние:

Высота призмы равна высоте цилиндра, а сторона ее основания равна диаметру цилиндра. Тогда площадь боковой поверхности

.

Ответ: 8.

Прототип B11 № 27065

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Решeние:

Сторона правильного треугольника выражается через радиус вписанной в него окружности как . Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой

.

Ответ: 36.

Прототип B11 № 27066

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Решeние:

Сторона правильного шестиугольника выражается через радиус вписанной в него окружности как . Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой

.

Ответ: 24.

Прототип B11 № 27067

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Решeние:

Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной :

Ответ: 24.

Прототип B11 № 27068

Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Решeние:

Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.

Ответ: 12.