Прогнозирование надежности
Работоспособность объекта может быть охарактеризована совокупностью значений его определяющих параметров. Контроль этих параметров дает возможность судить об исправном или неисправном состоянии объекта в данный момент времени. Для определяющих параметров, как правило, устанавливаются допустимые границы изменения таким образом, что при нахождении значений этих параметров в этих границах объект считается исправным, а при выходе хотя бы одного определяющего параметра за установленные границы объект считается неисправным.
В процессе эксплуатации важной задачей является прогнозирование (то есть предсказание) изменения определяющих параметров в будущем на основании знания предыдущих их значений.
Определяющие параметры систем вследствие воздействия различных дестабилизирующих факторов изменяются во времени случайным образом. Поэтому изменение состояния объекта во времени является случайной функцией.
Понятие о случайных процессах
Существует несколько определений случайного процесса, например:
а) Случайным (стохастическим, вероятностным, случайной функцией времени) называется процесс изменения во времени состояния объекта, значение параметров которого является случайной величиной.
б) Случайным процессом называется функция X(t) действительного аргумента t, значение которой в каждом значении t является случайной величиной. Аргумент t может принимать любые значения в заданном интервале (конечном или бесконечном).
Оба определения равнозначны.
Обычно случайный процесс обозначается прописными буквами: X(t), Y(t), Z(t) и т. д.
При разных наблюдениях одного и того же случайного процесса (при наблюдении изменений одних и тех же параметров одинаковых объектов) получаются разные же его реализации. Отдельные реализации обозначаются строчными буквами, индекс которых означает номер реализации: x1(t), x2(t),...,y1(t), у2(t),...и т. д.
Если аргумент случайной функции может принимать только дискретные значения, то X(t) называется случайной (стохастической) последовательностью.
Характеристики случайного процесса
3начение случайного процесса в некоторый момент времени, например, в момент t1, может быть определено с помощью закона распределения X1(t1) случайной величины X1. Так как Х1 является непрерывной случайной величиной, то полной характеристикой случайного процесса в момент t1 является дифференциальная функция распределения вероятностей случайной величины X1 в момент времени t1, то есть f[X(t1)]=f(X1).
Однако плотность вероятности f(X1) характеризует процесс X(t) только в момент времени t1. Для полного описания случайного процесса необходимо использовать двумерную f2(X1,X2), трехмерную f2(Х1,Х2,Х3) и т. д. плотности распределения. Однако получение таких функций, с помощью которых можно задать случайный процесс, очень сложный и трудоемкий процесс.
Поэтому на практике случайный процесс характеризуют числовыми характеристиками — математическим ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией.
Математическое ожидание ординаты случайной функции в произвольный момент времени не является случайной функцией и полностью определяется одномерной плотностью вероятности:
(8.1)
Корреляционная функция имеет выражение
(8.2)
при равенстве t1=t2=t получаем из (8.2) дисперсию случайной функции X(t) в момент времени t:
D[X(t)]=M{X(t)M[X(t)]}2 (8.3)
Если известны ансамбль реализаций {x(t)} случайного процесса X(t) и одномерная плотность вероятности f[x(t)], дисперсию можно вычислить по формуле
(8.4)
Числовые характеристики отражают наиболее существенные черты случайного процесса. Математическое ожидание описывает усредненное изменение процесса во времени, дисперсия является характеристикой рассеивания, а корреляционная функция определяет линейные зависимости между различными сечениями процесса.
Раздел теории случайных процессов, оперирующий только математическим ожиданием (момент первого порядка) и корреляционной функцией (вторым центральным моментом), носит название корреляционной теории случайных процессов.