2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Остатки модели содержатся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 5).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов и дисперсия остатков (таблица 3).

Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:

1. Вызвать Мастер диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).

2. Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1); значения У – остатки (таблица 5).

В результате получим график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок мнк.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

1. В уравнении линейной модели слагаемое ε – случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.

2. Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.

3. Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

4. Распределение случайного члена является нормальным.

1) Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек определим по графику остатков: .

Вычислим критическое значение по формуле

. При найдем .

Схема критерия:

Сравним , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

2) Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по методу наименьших квадратов, выполняется автоматически.

С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: .

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Голдфельда-Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной Х исходных данных ( ) выделим первые 5 и последние 5 уровней, средние 3 уровня не рассматриваем.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым пяти наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов .

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним пяти наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов .

Рассчитаем статистику критерия: .

Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы составляет (Приложение 2 или функция FРАСПОБР).

Схема критерия:

Сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

3) Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина-Уотсона

.

Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим ; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты .

Таким образом, .

Схема критерия:

Полученное значение , что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к и сравним ее с двумя критическими уровнями и , которые определяются по таблице d – статистик Дарбина–Уотсона (Приложение 3).

лежит в интервале от до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

В учебных целях проверим выполнение свойства независимости ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции

.

С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков , следовательно, .

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение и составляет для данной задачи .

Схема критерия:

Сравнение показывает, что , следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S – критерия

.

С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим , . Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет (таблица 2).

Тогда .

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при составляет (Приложение 4).

Схема критерия:

, значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента ( ).

t – статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4.

Для свободного коэффициента определена статистика .

Для коэффициента регрессии определена статистика .

Критическое значение найдено для уровня значимости =5% и числа степеней свободы (Приложение 1 или функция СТЬЮДРАСПОБР).

Схема критерия:

Сравнение показывает:

< , следовательно, свободный коэффициент а не является значимым, его можно исключить из модели.

> , значит, коэффициент регрессии b является значимым, его и фактор времени разговора с продавцом нужно сохранить в модели.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера ( ), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2) и составляет R² = 0,518 = 51,8% .

Таким образом, вариация (изменение) суммы покупки Y на 51,8% объясняется по полученному уравнению вариацией времени разговора с продавцом Х.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера.

F – статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и составляет .

Критическое значение F_кр= 4,84 найдено для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k₁=1, k₂=11 (Приложение 2 или функция FРАСПОБР).

Схема критерия:

Сравнение показывает: F = 11,81 > F_кр = 4,84; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная У достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации дополним таблицу 5 столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS (таблица 6).

Таблица 6.

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Отн. погр-ти
1	50,9375	-10,9375	27,34
2	50,9375	-0,9375	1,88
3	90,46875	-30,46875	50,78
4	90,46875	9,53125	9,53
5	103,6458333	76,35416667	42,42
6	116,8229167	-36,82291667	46,03
7	130	-20	18,18
8	130	70	35,00
9	156,3541667	-26,35416667	20,27
10	182,7083333	-62,70833333	52,26
11	182,7083333	-22,70833333	14,19
12	195,8854167	-45,88541667	30,59
13	209,0625	100,9375	32,56

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:

Сравним: , следовательно, точность модели неудовлетворительная.

Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать адекватной, однако ее точность является неудовлетворительной. Использовать такую модель для прогнозирования в реальных условиях нецелесообразно.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при уровне значимости , если прогнозное значение фактора Х увеличится на 20% от его среднего значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

.

Таким образом, если время разговора с продавцом составит 24 мин, то ожидаемая сумма покупки будет около 182,71 ден. ед.

Зададим доверительную вероятность и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования

.

Предварительно подготовим:

- стандартную ошибку модели S_E=53,14 (Таблица 2);

- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет

.

При размах доверительного интервала для среднего значения

.

Границами прогнозного интервала будут

;

.

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если время разговора с продавцом составит 24 мин, то ожидаемая средняя сумма покупки будет от 144,50 ден. ед. до 220,91 ден. ед.

Прогнозный интервал достаточно широк вследствие неудовлетворительной точности построенной модели.

7. Представить графически: фактические и модельные значения У, результаты прогнозирования.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели:

тип → линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме.

Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:

Имя → прогноз; значения Х → х^*; значения У → у^*;

Имя → нижняя граница; значения Х → х^*; значения У → U_нижн;

Имя → верхняя граница; значения Х → х^*; значения У → U_верх.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

Гиперболическая модель не является стандартной.

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим и получим вспомогательную модель Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений у_i (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 7).

Таблица 7.

Y	X	1/Х
40	14	0,071
50	14	0,071
60	17	0,059
100	17	0,059
180	18	0,056
80	19	0,053
110	20	0,050
200	20	0,050
130	22	0,045
120	24	0,042
160	24	0,042
150	25	0,040
310	26	0,038

С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим

	Коэффициенты
Y-пересечение	374,18
1/Х	-4696,21

Таким образом, , следовательно, уравнение гиперболической модели .

С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические значения для каждого уровня исходных данных .

Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных ряд теоретических значений .

Степенная модель является стандартной. Для ее построения используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на диаграмму уравнение модели.

Таким образом, уравнение степенной модели .

Показательная модель тоже стандартная (экспоненциальная).

Построим ее с помощью Мастера диаграмм.

Можно вычислить (функция ЕХР), тогда уравнение показательной модели .