Описание метода

Метод QR-разложения заключается в представлении матрицы в виде произведения ортогональной матрицы на верхнюю треугольную матрицу , . Изложенный ниже способ получения QR-разложения называется методом отражений.

Пусть к шагу с номером j уже найдены матрицы и , такие, что матрица имеет вид

,

– ортогональная матрица и . На первом шаге . Составим квадратную матрицу

, где .

Пусть

, , .

Возьмем число таким, что , где справа стоит , а знак числа противоположен знаку числа . Если , то возьмем положительным. Пусть . Очевидно, что – единичный вектор. Положим . Тогда – ортогональная матрица (это легко проверить). Преобразование с матрицей будет преобразованием отражения относительно плоскости с нормальным вектором . Оно будет вектор переводить в вектор .

В произведении первый столбец получается умножением матрицы на столбец и поэтому станет равным

.

Образуем матрицу следующего вида

,

где – единичная матрица порядка , при будем считать, что . Положим . В произведении строки и столбцы номерами не изменятся, а элементы, у которых и номер строки, и номер столбца не меньше , получаются как элементы произведения . Таким образом, матрица будет иметь вид

.

В этой матрице и под главной диагональю в столбцах стоят нули. Учитывая, что , получим . Положим . Так как произведение ортогональных матриц является матрицей ортогональной, то матрица – ортогональная. Итак, . Шаг с номером завершен. Выполнив таких шагов, получим, что , где – верхняя треугольная матрица. Отсюда . Обратная к ортогональной матрице, т.е. транспонированная матрица, является ортогональной. Поэтому, обозначив , получим требуемое QR-разложение.

Преимуществом QR-разложения является то, что элементы матрицы R не могут сильно превышать по модулю элементы матрицы A. Действительно, , т.е. каждый столбец матрицы R получается умножением ортогональной матрицы на соответствующей столбец матрицы A. Так как при умножении ортогональной матрицы на столбец вторая норма столбца (квадратный корень из суммы квадратов элементов столбца) не меняется, то нормы столбцов матрицы R совпадают с нормами соответствующих столбцов матрицы A. Норма каждого столбца ортогональной матрицы равна 1. Поэтому все элементы матрицы Q по модулю не больше 1.

QR- разложение допустимо и для вырожденных матриц, если соответствующий нулевой столбец матрицы В считать уже получившимся на очередном шаге и сразу переходить к следующему шагу.

А также с помощью QR-разложения можно найти разложение прямоугольной матрицы коэффициентов. Если матрица А размера m×n, где , то матрица будет иметь размер , а матрица .

Недостатком метода служит то, что его реализация требует приблизительно в два раза больше операций, чем LU-разложение. Кроме того QR-разложение требует дополнительную память для хранения матрицы Q, в то время, как в LU-разложении матрицы L и U могут формироваться в памяти компьютера на месте, занимаемом матрицей A. Впрочем, недостатки, как и преимущества, сказываются только при больших значениях n.

Лабораторная работа №3

Цель работы:

• знакомство с алгоритмом QR-разложения матрицы коэффициентов;

• применение метода QR-разложения к решению систем линейных уравнений;

• использование возможностей системы MATHCAD для выполнения QR-разложения.

Постановка задачи

Найти решение системы линейных уравнений с помощью метода QR-разложения, где

– матрица коэффициентов размера ,

, - столбец неизвестных и столбец свободных членов соответственно.

Ход лабораторной работы

1. Ввести матрицу коэффициентов A (n×n) и столбец свободных членов b.

2. На первом шаге .

3. Пусть .

4. Создать матрицу .

5. Создать векторы .

6. Найти число .

7. Найти единичный вектор .

8. Найти матрицы и . Увеличить j на 1: . Если , перейти к шагу 9, иначе перейти к шагу 4.

9. Ввести обозначение , создать матрицу .

10. Найти решение системы .

11. Найти решение системы .

12. Выполнить проверку.

1) Для проверки разложения вычислить произведение матриц QR, сравнить с матрицей A.

2) Для проверки решения посмотреть, выполняется ли равенство .

Пример

Найти решение системы линейных уравнений , где

, .

Получим QR-разложение матрицы коэффициентов.

На первом шаге :

Создаем векторы , следующим образом:

Находим число . Внимание! Символ модуля вектора в Mathcad14 брать с панели Calculator. Функция определяет знак элемента :

Найдем единичный вектор :

, – ортогональная матрица:

Составляем матрицу следующего вида . На первом шаге :

Найдем матрицу . Заметим, что матрица единичная, следовательно :

Увеличиваем j на 1. Составляем матрицу . Воспользуемся возможностями Mathcad, а именно, функцией submatrix:

Найдем матрицу , . Учтем также, что первая строка матрицы U совпадает с первой строкой единичной матрицы, и поэтому первая строка матрицы Q3 совпадает с первой строкой матрицы Q2. Матрица (см. описание метода):

Аналогично находим матрицы и :

Составим матрицу :

Проверка разложения: Разложение выполнено верно.

Решим систему уравнений :

Решив вторую систему , получим:

Проверка:

Требования к отчету

1. Отчет должен быть представлен в электронном виде.

2. Отчет должен содержать расчеты, проверку и ответы на вопросы:

1. Какова точность найденного решения?

2. В чем преимущество метода QR-разложения по сравнению с методами LU и LUP-разложений?

3. Каковы недостатки метода?

Задания для самостоятельной работы

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

7 вариант

8 вариант

9 вариант

10 вариант

11 вариант

12 вариант

13 вариант

14 вариант

15 вариант

4. Разложение Холецкого симметричной матрицы коэффициентов и его использование для решения системы линейных алгебраических уравнений

Описание метода

Объем вычислений, требующихся для нахождения решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричными матрицами коэффициентов, можно сократить почти вдвое, если учитывать симметрию при треугольной факторизации матриц¹.

При разложении Холецкого (Холесского) симметричная матрица А представляется в виде произведения , где L – нижняя треугольная. Для того чтобы это разложение было возможным, требуется, чтобы матрица А была положительно определенной². Матрица L имеет вид

.

Элементы матрицы L в разложении Холецкого находятся по формулам:

,

,

……………………….

,

.

Эти формулы легко получаются, если записать элементы произведения и приравнять их к элементам матрицы А. В полученной записи необходимо рассмотреть элементы матрицы L как неизвестные и решить соответствующие уравнения. Приведенная последовательность вычислений для нахождения разложения называется также методом квадратного корня.

Если исходная матрица невырожденная и не является положительно определенной, то при реализации алгоритма на одном из шагов придется извлекать квадратный корень из отрицательного числа. В этой ситуации процесс следует остановить и использовать другое разложение матрицы. Таким образом, предварительно проверять исходную матрицу на положительную определенность не имеет смысла.

При наличии -разложения решение системы линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей коэффициентов сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами коэффициентов и .

Лабораторная работа №4

Цель работы:

• знакомство с алгоритмом разложения Холецкого матрицы коэффициентов;

• применение метода разложения Холецкого к решению систем линейных уравнений;

• использование возможностей системы MATHCAD для выполнения разложения Холецкого.

Постановка задачи

Найти решение системы линейных уравнений с помощью метода разложения Холецкого, где

– невырожденная симметрическая положительно определенная матрица коэффициентов размера ,

, – столбец неизвестных и столбец свободных членов соответственно.

Ход лабораторной работы

1. Ввести матрицу коэффициентов A (n×n) и столбец свободных членов b.

2. Составить матрицу L.

3. Найти решение системы уравнений .

4. Найти решение системы .

5. Выполнить проверку.

1) Для проверки разложения вычислить произведение матриц , сравнить с матрицей A.

2) Для проверки решения посмотреть, выполняется ли равенство .

Пример

Найти решение системы линейных уравнений , где

Найдем разложение Холецкого матрицы коэффициентов:

Найдем решение системы :

Найдем решение системы :

Выполним проверку разложения:

Выполним проверку решения системы линейных алгебраических уравнений: