Пример:

Найти решение системы линейных уравнений , где , .

Получим LU-разложение матрицы коэффициентов.

Выберем максимальный по модулю элемент среди элементов столбца с номером j = 1, стоящих не выше диагонали. Номер этого элемента k = 2: Создадим матрицу перестановок : Найдем , так как в Mathcad не предусмотрены переменные с чертой сверху, то новую матрицу обозначим : Создадим матрицу :

Найдем матрицу :

Аналогично найдем матрицы L2 и A2: Выполним перестановку в матрице L1 и для простоты записи у матрицы сохраним обозначение L1: Выполним перестановку строк в матрице :

Создадим матрицу :

Положим U=A2: Найдем P = P2P1: Получили требуемое разложение LU = PА:

Чтобы применить полученное разложение к решению заданной системы уравнений, умножим обе части равенства Ах = b слева на матрицу P. Получим PAx = Pb. Используя разложение, имеем LUx = Pb. Пусть . Находим решение треугольной системы уравнений :

Находим решение системы :

Решение найдено верно:

Замечания

1. Если на очередном шаге перестановка строк не требуется, то создавать матрицу перестановок не нужно.

2. Матрицы A и L с индексами вводились только для возможности вернуться к любому сделанному ранее шагу при обнаружении на каком-то шаге ошибки. В действительности, каждую очередную матрицу A и L можно обозначать теми же буквами. Более того, под- диагональные элементы матрицы L можно формиро- вать на месте соответствующих поддиагональных эле- ментов матрицы A.

Требования к отчету

1. Отчет должен быть представлен в электронном виде.

2. Отчет должен содержать расчеты, проверку и ответы на вопросы:

1. Какова точность найденного решения?

2. В чем преимущество метода LUP-разложения по сравнению с методом LU-разложения?

3. Каковы недостатки метода?

Задания для самостоятельной работы

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

7 вариант

8 вариант

9 вариант

10 вариант

11 вариант

12 вариант

13 вариант

14 вариант

15 вариант

3. QR-разложение матрицы и его использование для решения системы линейных алгебраических уравнений