Требования к отчету

1. Отчет должен быть представлен в электронном виде.

2. Отчет должен содержать расчеты, проверку и ответы на вопросы:

1. Какова точность найденного решения?

2. В чем преимущество метода LU-разложения по сравнению с правилом Крамера и использованием обратной матрицы?

3. В чем заключается различие между методом Гауса и LU-разложением?

4. Каковы недостатки метода?

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

7 вариант

8 вариант

9 вариант

10 вариант

11 вариант

12 вариант

13 вариант

14 вариант

15 вариант

2. LUP-разложение матрицы коэффициентов и его использование для решения системы линейных алгебраических уравнений

Описание метода

Метод LUP-разложения – это LU-разложение матрицы A с выбором главного (ведущего) элемента. В этом методе ищутся три матрицы: P, L, U, такие, что . Здесь L – нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали, U – верхняя треугольная матрица, P – матрица перестановок,

, .

Определение. Матрицей перестановок называется матрица, у которой в каждом столбце и в каждой строке один элемент равен единице, остальные – нули, например

.

Если в матрице перестановок P в строке с номером i единица стоит в столбце с номером j, то в матрице строкой с номером i будет строка с номером j матрицы А, а в матрице столбцом с номером j будет служить столбец с номером i матрицы А. Поэтому умножение на матрицу перестановок не требует выполнения арифметических операций. Кроме того матрица перестановок является ортогональной матрицей. Произведение двух матриц перестановок дает снова матрицу перестановок.

В основном метод LUP-разложения совпадает с LU-разложением.

Пусть к шагу с номером j, , построена матрица , имеющая вид

,

матрицы , имеющие вид

,

и матрицы перестановок , такие, что

,

если j=1, то считаем . Среди элементов столбца с номером j +1 матрицы , стоящих не выше диагонали, находим главный элемент, т.е. наибольший по модулю. Пусть это будет элемент с номером , т.е. при . Пусть – матрица перестановок, отличающаяся от единичной только строками с номерами j+1 и k, причем . Положим . Матрица получается из матрицы перестановкой строк с номерами j+1 и k. В матрице элемент будет наибольшим по модулю среди элементов столбца с номером j+1, стоящих ниже. Если , то матрица А – вырожденная и решение системы с такой матрицей не рассматривается в лабораторной работе.

Далее находим матрицу , у которой , где .

В результате умножения получим нули в столбце с номером j +1, ниже диагонали. Обозначим

.

Тогда в силу

.

Положим

,

.

Легко проверить, что матрицы получаются из матриц перестановкой элементов в строках с номерами j +1 и k ниже диагонали. Очевидно, что . Поэтому

,

и т.д. В результате получим .

Пусть Тогда

,

требуемый вид получен. Шаг с номером j + 1 завершен.

После выполнения шага получаем

.

Произведение является нижней треугольной матрицей с единицами на диагонали. Обозначим обратную матрицу к этому произведению через , она тоже будет нижней треугольной с единицами на диагонали. Если положим , , то получим требуемое разложение .

Чтобы применить полученное разложение к решению системы уравнений , умножим обе части равенства слева на матрицу . Получим . Используя разложение, имеем и далее решаем треугольные системы уравнений , . Метод LU-разложения с выбором главного элемента в точной арифметике позволяет решить любую систему уравнений с невырожденной матрицей. Точная арифметика подразумевает, что вычисления ведутся без округления, а конечная, что вычисления ведутся в десятичных дробях с округлением до какого-то знака. Компьютер считает всегда в конечной арифметике.

К недостаткам метода следует отнести возможность возникновения очень больших элементов в матрицах и по сравнению с элементам матрицы . Но этот недостаток играет существенную роль только при больших n. Частично проблему неоправданного увеличения элементов матриц можно решить, выбирая главный элемент не только по столбцу, но и по всем элементам матрицы, стоящим на шаге с номером j в строках и столбцах с номерами . В этом случае будет получено разложение , где и – матрицы перестановок. Систему уравнений тогда решаем так:

, ,

, , .

Лабораторная работа №2

Цель работы:

• знакомство с алгоритмом LUP-разложения матрицы коэффициентов;

• применение метода LUP-разложения к решению систем линейных уравнений;

• использование возможностей системы MATHCAD для выполнения LUP-разложения.

Постановка задачи

Найти решение системы линейных уравнений с помощью метода LUP-разложения, где

– невырожденная матрица коэффициентов размера ,

, – столбец неизвестных и столбец свободных членов соответственно.

Ход лабораторной работы

Функцию Mathсad для умножения матриц не использовать!

1. Ввести матрицу коэффициентов A (n×n) и столбец свободных членов b.

2. На первом шаге .

3. Пусть j = 1.

4. Найти ведущий элемент в столбце с номером j матрицы . Составить матрицу перестановок .

5. В соответствии с матрицей выполнить перестановку строк в матрице , получим матрицу .

6. При j = 1 этот шаг не выполняется. Сделать перестановку поддиагональных элементов в матрицах , , т.е. получить матрицы . Сделать перестановку строк в матрице , т.е. получить матрицу .

7. Составить матрицу .

8. Найти матрицу . Как это сделать, не используя функцию умножения матриц в Mathcad, см. лабораторную работу №1.

9. Увеличить j на 1: . Если перейти к шагу 10, иначе к шагу 4.

10. Ввести обозначения , , .

11. Найти матрицу (см. лабораторная работа №1).

12. Найти решение системы .

13. Найти решение системы , записать решение исходной системы линейных уравнений.

14. Выполнить проверку.

1) Для проверки разложения вычислить произведение матриц LU и сравнить его с матрицей PA.

2) Для проверки решения посмотреть, выполняется ли равенство .