1.7. Проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам одинакового объема

Для проверки однородности нескольких дисперсий при равных объемах всех рассматриваемых выборок n₁ = n₂ = n₃, =...= n может быть использован G-критерий Кохрена.

Пусть т – количество выборочных дисперсий, однородность которых проверяется. Обозначим эти дисперсии . Вычисляется расчетное G-отношение по формуле

. (1.17)

В числителе этой формулы стоит наибольшее значение из рассматриваемых дисперсий, а в знаменателе значение суммы всех дисперсий. Далее обращаются к таблицам распределения Кохрена (см.приложение 3). По выбранному уровню значимости q, числу степеней свободы каждой выборки f = n – 1 и по количеству выборок m из этой таблицы отыскивают величину G = G_табл. Если G < G_табл, то можно принять гипотезу об однородности дисперсий. В противном случае она отвергается.

Пример. На лабораторном стенде при отработке методики определения концентрации частиц в воздухе шестью студентами обработано пять фильтров при одних условиях. Результаты измерений – количество частиц на фильтре приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Количество частиц на фильтре

Номер фильтра	Студент						Среднее	Дисперсия
	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й
1 2 3 4 5	49 43 58 47 52	50 48 53 49 55	48 49 52 48 57	53 42 56 45 54	47 47 54 48 56	51 41 55 44 54	50 45 55 47 55	4,8 11,6 4,8 3,8 3,2

Требуется выяснить, можно ли считать, что разброс значений частиц для всех фильтров одинаков. Для ответа на этот вопрос рассчитаем среднее значение у_i, и оценку дисперсии для каждого фильтра (они приведены в последних двух столбцах табл. 1.3). Проверим однородность дисперсий по критерию Кохрена (объемы каждой из пяти выборок одинаковы и равны шести). Из табл. 1.3 находим наибольшую дисперсию, равную = 0,324. Составим G-соотношеиие:

G_расч

Из приложения 3 для количества выборок n = 5 и числа степеней свободы f = n – 1 = 6 – 1 = 5 при уровне значимости q = =0,05 находим G_табл = 0,5063. Поскольку G_расч < G_табл, гипотеза об одинаковом разбросе значений частиц принимается.

1.8. Проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам различного объема

Экспериментаторы часто планируют получение выборок одинакового объема, однако, если в опытах обнаруживаются промахи, то после их исключения объемы выборок оказываются различными. Пусть, как и в предыдущем пункте, проверяется однородность некоторого числа m дисперсий: . Теперь эти дисперсии найдены по выборкам различного объема – соответственно n₁, n₂, n₃, ..., n_m. В этом случае используют критерий Бартлетта-B. Предварительно вычисляют величину , представляющую собой среднее взвешенное значение дисперсий, взятое с учетом числа степеней свободы

,

где f = f₁ + f₂ ...+f_m; f_m – это числа степеней свободы соответствующих дисперсий: f_i = n_{i –} 1.

Далее рассчитывают величину B = V / C, где V и C соответственно равны [10]:

,

Затем из Приложения 4 при уровне значимости q и числе степеней свободы k = т – 1 отыскивают значение . Гипотеза об однородности дисперсий принимается, если . В данной проверке требуется, чтобы объем каждой выборки был не менее четырех. Поскольку величина C заведомо больше единицы, то после вычисления значения V можно уже проверить выполнение неравенства V ≤ Если оно окажется справедливым, то гипотезу об однородности дисперсий можно принять. Если V > то следует вычислить C и довести проверку до конца.

Применение критерия Бартлетта, как видно, является достаточно трудоемким. Кроме того, следует иметь в виду, что он весьма чувствителен к отклонениям от нормальности распределения.