5. Построение многофакторной линейной регрессионной модели в excel
Представленный алгоритм построения регрессионной модели практично реализован программно в многофункциональной программе EXCEL. Для практического освоения этой программы построения многофакторного линейного уравнения регрессии рассмотрим пример.
Построение линейной функции выполняется с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Основные параметры диалогового окна: входной интервал Y – массив анализируемых зависимых данных (массив должен состоять из одного столбца числовых значений); входной массив Х – числовые значения независимых данных (представленные соседними столбцами), подлежащих анализу, Excel располагает независимые переменные этого массива чисел слева направо в порядке возрастания. Программный продукт позволяет сформировать и нелинейную функцию. Например, для случая двух переменных
у(X1,
X2)
= B0
+ B1
X1
+ B2
X2
+ B3
+ B4
+
B5
X1,
X2
формируется массив (столбцы), содержащий числовые значения , , X1, X2, рядом с массивом значений X1, X2.
Пример. Необходимо построить уравнение регрессии между исходной концентрацией микроорганизмов X1, плотностью потока лазерного излучения X2, концентрацией фотосенсибилизатора X3 и количеством выживших микроорганизмов Y (задача оптимизации режима фотодинамической терапии).
Для решения этой задачи в меню Excel, в разделе «регрессия» введем исходные данные, представленные графически на рис. 5.1.
Проводимые в работе экспериментальные исследования влияния физико-химических факторов на гибель четырех видов микроорганизмов с различной исходной их концентрацией с целью выбора оптимального физиотерапевтического режима при фотодинамической терапии показали в интервале их варьирования ярко выраженную экспоненциальную кинетику, а также наличие экстремального значения концентрации ФС .
Рис. 5.1
Отмеченные особенности явились причиной поиска функциональной зависимости КОЕ от варьируемых факторов и исходной концентрации микроорганизмов с целью получения математического выражения для количественного определения фотодинамических параметров, обеспечивающие заданный режим терапии (безопасный). Применение факторного анализа – построение трех-факторной регрессионной – модели показали недостаточно высокую ее адекватность. Потребовалась априорная информация о кинетике протекающих процессов.
Кинетика гибели микроорганизмов при воздействии на них внешних физико-химических факторов, в общем виде, может быть представлена экспоненциальным законом:
N = N0exp(–Kτ),
где N – количество микроорганизмов в момент времени τ; K – удельная скорость гибели микроорганизмов; N0 – исходное значение количества микроорганизмов.
Особенности вида микроорганизма и влияния различных факторов на характер гибели их должны быть «возложены» на параметр-функцию K.
Предварительный анализ экспериментальных значений КОЕ-представления их в графическом виде КОЕ с аппроксимацией экспонентой (линия тренда) подтвердил экспоненциальный характер кинетического процесса гибели микроорганизмов от мощности лазерного потока:
КОЕ = С0exp(–FW),
где С0 – исходная концентрация микроорганизма; мощность лазерного потка; Е – облученность Дж/м-2 F – кинетический параметр, учитывающий природу микроорганизма и концентрацию фотосенсибилизатора в среде микроорганизма.
Проведенный численный анализ данного выражения для КОЕ применительно к полученным экспериментальным данным показал, что характерные особенности микроорганизма и концентрация фотосенсибилизатора должны функционально входить в критерии F и С0, т.е. данные параметры здесь приобретают роль функционалов и являются функциями исходной концентрации микроорганизма и фотосенсибилизатора.
Построение кинетических уравнений для исследуемых микроорганизмов проводилось с группированием экспериментальных данных для одного вида микроорганизма при трех исходных концентраций для одной концентрации фотосенсибилизатора. Здесь применялся двухфакторный анализ и строилась двухфакторная регрессионная модель вида
ln KOE = B0 + B1lnC0 – B2W, (5.1)
где B0, B1, B2 – коэффициенты уравнения регрессии; С0 – исходная концентрация микроорганизма; W – плотность лазерного потока; KOE – количество выживших микроорганизмов.
Данная регрессионная модель строилась для одной концентрации фотосенсибилизатора и трех значений исходной концентрации рассматриваемого микроорганизма. Согласно экспериментальным данным, на каждый микроорганизм получали четыре регрессионные уравнения, коэффициенты которых отражали роль концентрации фотосенсибилизатора.
Графический анализ численных значений КОЕ в зависимости от концентрации фотосенсибилизатора показал параболическую их зависимость с наличием экстремальной точки КОЕ. Роль изменения концентрации фотосенсибилизатора была включена в коэффициенты B0, B1, B2 как
Bi= A0 + A1lnFS + A2(ln FS)2 + A3(lnFS)3,
где A0, A1, A2, A3 – коэффициенты аппроксимации; FS – концентрация фотосенсибилизатора.
Обобщенные коэффициенты B0, B1, B2, подставленные в уравнение (5.1) и представляли кинетическую зависимость исследуемого микроорганизма от исходной их концентрации, мощности лазерного потока и концентрации фотосенсибилизатора в исследуемых интервалах варьирования факторов
Кинетические уравнения для исследуемых микроорганизмов:
ln KOE = B0 + B1lnC0 – B2W,
для которого
B0 = A1 (lnFS)3 + A2(lnFS)2 + A3(lnFs) + A4;
B1 = K1(lnFS)3 + K2(lnFS)2 + K3(lnFs) + K4;
B2 = D1(lnFS)3 + D2(lnFS)2 + D3(lnFs) + D4.