Часть 2. Определение аппроксимационных оценок построеных моделей и выбор наилучшей модели для прогнозирования

Сравнивая все построенные модели между собой по сумме квадратов уклонений от описываемого процесса S:

∆Smin=МИН(5,074; 201,8; 7.72)= 5,074

видим, что наилучшей из всех является линейная модель.

Сравнивая все построенные модели между собой по величине коэффициента детерминации R²:

R²max=МАКС(0,991; 0,644; 0,984)= 0,991

видим, что наилучшей из всех является линейная модель.

Для выбора типа трендовой модели используют обычно критерий Демидовича:

Для заданной системы точек (ti ; yi)выбирают две точки, по возможности далеко отстоящие друг от друга. Пусть это точки Mi (t1 ; y1) и Mn (tn ; yn). Вычислим для них среднее арифметичаеское ta p, геометрическое t геом, гармоническое tгарм значений (t1 ; tn) и Mn (y1 ; yn):

; ; t геом = ; Y геом = ;

; ;

Для вычислений значений t_ар, t_геом, t_гарм независимой переменной найдем из построненного графика или из таблицы по формуле линейной интерполяции соответствующие значения зависимой переменной y₁^*; I = 1,2,3.

t _ар будет соответствовать y₁^*

t _геом будет соответствовать y₂^*

t _гарм будет соответствовать y₃^*

Сравним найденные значения y₁^*, y₂^*, y₃^* с вычисленными y_ар, y_геом, y _гарм и оценим погрешности:

Е₁ = (y₁^* -y_ар); Е₂ = (y₁^* -y_геом); Е₃ = (y₁^* -y_гарм);

Е₄ = (y₂^* -y_ар); Е₅ = (y₂^* -y_геом); Е₆ = (y₃^* -y_ар);

Е₇ = (y₃^* -y_ар);

Выберем минимальную погрешность:

Е_min – min (Е₁, Е₂, …. Е₇)

В соответствии с нумерацией списка формул таблицы 2.2, наиментьшей абсолютной погрешности Е_i отвечает i – я формула i = 1; 2; 3…7 (функция).

Замечания:

1. Приведенный подход к отысканию вида эмпирической формулы является грубо ориентированным, так как не учитыается поведение всех промежуточных данных. (t_i, y_i).

2. В ряде случаев переменные t и y могут соответствовать некоторой закономерности, не вошедшей в список.

Все зависимости, приведенные в таблице легко преобразовываются в линейные мотодом выравнивания (см. последный столбец табл. 2.2).

Метод выравнивания состоит в вводе новых переменных:

t = j (t; y) y = Y (t; y)

таким образом, что преобразованные точки (t_i; y_i) лежат на некоторой прямой линии плоскости toy.

Обязательным требованием при этом является взаимная однозначность преобразования.

Сравнивая линейную и параболическую модели по сложности оценивания параметров, видим, что лучшей надо считать линейную модель имеющую два параметра.

Этот же результат дает критерий Демидовича

Трендовая модель:

Y^d=2,7861+3,2716*t

Проведём анализ остаточной компоненты

∆s=y-y^d.

Вычислим для неё матожидание

М[∆s]=0,000

s	-0,26	-0,33	0,399	0,627	0,856	-1,42	-0,69	1,041	-0,23	0,000	0,000
											М[Σs]

Проверим её независимость, вычислив коэффициент автокорреляции:

R_i,i-1=Σ(y_i-y^d_i)(y_i-1-y^d_i-1) / [Σ(y_i-y^d_i)² (y_i-1-y^d_i-1)²]^1/2= -0,009017